Reihe in Operatornorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein Banachraum und [mm] T\in{L(X,X)}. [/mm] Man beweise, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind.
(i) Die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}T^k [/mm] konvergiert in Operatornorm.
(ii) Es existiert eine natürliche Zahl m mit [mm] \Vert{T^m}\Vert<1
[/mm]
(iii) Die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}T^k [/mm] konvergiert absolut, d.h. [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty [/mm] |
Hallo ihr da draußen,
zu der Aufgabe habe ich ein paar Fragen, bzw. bitte ich um Hinweise zu meinen Ausführungen.
iii)->i)
Es gelte also [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty.
[/mm]
Dann ist aber [mm] \infty>\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert>\left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert, [/mm] aufgrund von [mm] \Vert(S+T)\Vert<\Vert S\Vert+\Vert T\Vert [/mm] und der Eigenschaft, dass die Reihe absolut konvergiert (daher Benutzung der Dreiecksungleichung).
i)->ii)
Es gelte [mm] \left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert<\infty. [/mm] Dann muss aber [mm] T^k [/mm] eine Nullfolge sein.
Es gilt daher [mm] \Vert{T^k}\Vert\to{0}. [/mm] Inbesondere existiert daher ein [mm] m\in\IN [/mm] mit [mm] \Vert{T^m}\Vert<1
[/mm]
Ich habe auch versucht, die Behauptung über einen Widerspruch zu erzeugen. Komme da aber nicht wirklich weiter. Wäre das auch möglich? Habt ihr eventll. Tips dazu?
ii)->iii)
Mir fehlt hier der Ansatz. Erste Idee: zeige, dass [mm] \Vert{T^n}\Vert<1 [/mm] für [mm] n\ge{m}
[/mm]
Über Kommentare, Hinweise, Korrekturen,... freue ich mich.
Schönen Mittwoch euch allen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mi 27.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein Banachraum und [mm]T\in{L(X,X)}.[/mm] Man beweise, dass
> die folgenden Bedingungen äquivalent sind.
>
> (i) Die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert in
> Operatornorm.
> (ii) Es existiert eine natürliche Zahl m mit
> [mm]\Vert{T^m}\Vert<1[/mm]
> (iii) Die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert
> absolut, d.h. [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty[/mm]
> Hallo ihr da draußen,
>
> zu der Aufgabe habe ich ein paar Fragen, bzw. bitte ich um
> Hinweise zu meinen Ausführungen.
>
Hallo Richie,
> iii)->i)
> Es gelte also [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty.[/mm]
> Dann ist aber
> [mm]\infty>\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert>\left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert,[/mm]
Nein, so kannst Du das nicht machen !
Die Konvergenz von [mm] \sum_{k=0}^{\infty}{T^k} [/mm] willst Du doch zeigen. Dann kannst Du doch nicht in Ungleichungen mit [mm] ||\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}|| [/mm] um Dich werfen !!
Sicher hattet, dass eine absolut konvergente Reihe in einem Banachraum auch konvergiert.
Da X ein Banachraum ist, ist auch L(X,X) ein Banachraum.
> aufgrund von [mm]\Vert(S+T)\Vert<\Vert S\Vert+\Vert T\Vert[/mm] und
> der Eigenschaft, dass die Reihe absolut konvergiert (daher
> Benutzung der Dreiecksungleichung).
>
> i)->ii)
> Es gelte
> [mm]\left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert<\infty.[/mm]
So würde ich das nicht schreiben. Die Vor. lautet:
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}T^k [/mm] $ konvergiert in Operatornorm.
> Dann
> muss aber [mm]T^k[/mm] eine Nullfolge sein.
Ja
> Es gilt daher [mm]\Vert{T^k}\Vert\to{0}.[/mm] Inbesondere existiert
> daher ein [mm]m\in\IN[/mm] mit [mm]\Vert{T^m}\Vert<1[/mm]
ja
>
> Ich habe auch versucht, die Behauptung über einen
> Widerspruch zu erzeugen. Komme da aber nicht wirklich
> weiter. Wäre das auch möglich? Habt ihr eventll. Tips
> dazu?
Wozu ? Obiges ist doch kurz und einfach !
>
> ii)->iii)
> Mir fehlt hier der Ansatz. Erste Idee: zeige, dass
> [mm]\Vert{T^n}\Vert<1[/mm] für [mm]n\ge{m}[/mm]
Es gilt folgendes:
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in [0, [mm] \infty) [/mm] mit der Eigenschaft:
(*) $ [mm] a_{n+m} \le a_n*a_m [/mm] $ für alle n,m [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann ist die Folge [mm] (\wurzel[n]{a_n}) [/mm] konvergent und hat den Grenzwert [mm] \inf \{\wurzel[k]{a_k}: k \in \IN\}
[/mm]
Setze nun [mm] a_n:=||T^n||.
[/mm]
Dann hat [mm] (a_n) [/mm] die Eigenschaft (*) (ist Dir klar, warum ?)
Somit ist also [mm] (\wurzel[n]{||T^n||}) [/mm] konvergent und ihr Grenzwert ist
[mm] \inf \{\wurzel[k]{||T^k||}: k \in \IN\}.
[/mm]
Wegen [mm] ||T^m||<1 [/mm] ist auch [mm] \wurzel[/mm] [m][mm] {||T^m||} [/mm] <1.
Damit hat die Folge [mm] (\wurzel[n]{||T^n||}) [/mm] einen Grenzwert <1.
Nach dem Wurzelkriterium ist dann $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\Vert{T^n}\Vert<\infty [/mm] $
Gruß FRED
>
>
> Über Kommentare, Hinweise, Korrekturen,... freue ich
> mich.
>
> Schönen Mittwoch euch allen.
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort. Schön wieder auf den Boden der Tatsachen zu gelangen. Manches ist eben doch nicht so einfach wie man denkt.
> > Sei X ein Banachraum und [mm]T\in{L(X,X)}.[/mm] Man beweise, dass
> > die folgenden Bedingungen äquivalent sind.
> >
> > (i) Die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert in
> > Operatornorm.
> > (ii) Es existiert eine natürliche Zahl m mit
> > [mm]\Vert{T^m}\Vert<1[/mm]
> > (iii) Die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert
> > absolut, d.h. [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty[/mm]
> > Hallo ihr da draußen,
> >
> > zu der Aufgabe habe ich ein paar Fragen, bzw. bitte ich um
> > Hinweise zu meinen Ausführungen.
> >
>
> Hallo Richie,
>
>
>
>
> > iii)->i)
> > Es gelte also
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty.[/mm]
> > Dann ist aber
> >
> [mm]\infty>\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert>\left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert,[/mm]
>
> Nein, so kannst Du das nicht machen !
Das kann ich noch nicht so richtig nachvollziehen.
Ja, ich möchte die Konvergenz von [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}[/mm] nachweisen. Oder noch spezieller: Ich will zeigen, dass [mm] \Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\Vert [/mm] endlich ist.
Nun habe ich [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert=\Vert T^0\Vert+\Vert T^1\Vert+\Vert T^2\Vert+\ldots\stackref{>}{\Delta-UG}\Vert T^0+T^1+T^2+\ldots\Vert=\Vert\sum_{k=0}^{\infty}T^k\Vert
[/mm]
Die Eigenschaft, dass die Dreiecksungleichung auch bei der Reihe gilt sichert mir doch die absolute Konvergenz.
Nach Majorantenkriterium würde nun aber [mm] \Vert\sum_{k=0}^{\infty}T^k\Vert [/mm] konvergieren.
Ich sehe einfach noch nicht meinen Fehler in der Überlegung.
>
> Die Konvergenz von [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}[/mm] willst Du doch
> zeigen. Dann kannst Du doch nicht in Ungleichungen mit
> [mm]||\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}||[/mm] um Dich werfen !!
>
>
> Sicher hattet, dass eine absolut konvergente Reihe in einem
> Banachraum auch konvergiert.
>
> Da X ein Banachraum ist, ist auch L(X,X) ein Banachraum.
Damit ist es schon klarer. Ich könnte hier auch auf eine Cauchyfolge zurückgreifen, diese konvergiert in dem Raum, da L(X,X) vollständig.
>
>
>
> > aufgrund von [mm]\Vert(S+T)\Vert<\Vert S\Vert+\Vert T\Vert[/mm] und
> > der Eigenschaft, dass die Reihe absolut konvergiert (daher
> > Benutzung der Dreiecksungleichung).
> >
> > i)->ii)
> > Es gelte
> > [mm]\left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert<\infty.[/mm]
>
>
> So würde ich das nicht schreiben. Die Vor. lautet:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert in Operatornorm.
>
> > Dann
> > muss aber [mm]T^k[/mm] eine Nullfolge sein.
>
> Ja
>
>
> > Es gilt daher [mm]\Vert{T^k}\Vert\to{0}.[/mm] Inbesondere existiert
> > daher ein [mm]m\in\IN[/mm] mit [mm]\Vert{T^m}\Vert<1[/mm]
>
> ja
>
>
> >
> > Ich habe auch versucht, die Behauptung über einen
> > Widerspruch zu erzeugen. Komme da aber nicht wirklich
> > weiter. Wäre das auch möglich? Habt ihr eventll. Tips
> > dazu?
>
> Wozu ? Obiges ist doch kurz und einfach !
Ja das stimmt. Ich wollte einfach noch einmal einen anderen Beweis versuchen. Einfach an der Freude und nicht um die Aufgaben schnell hinter mir zu lassen.
Daher bin ich Ideen und Ansätzen immer noch offen.
>
>
> >
> > ii)->iii)
> > Mir fehlt hier der Ansatz. Erste Idee: zeige, dass
> > [mm]\Vert{T^n}\Vert<1[/mm] für [mm]n\ge{m}[/mm]
>
> Es gilt folgendes:
>
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge in [0, [mm]\infty)[/mm] mit der Eigenschaft:
>
> (*) [mm]a_{n+m} \le a_n*a_m [/mm] für alle n,m [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Dann ist die Folge [mm](\wurzel[n]{a_n})[/mm] konvergent und hat
> den Grenzwert [mm]\inf \{\wurzel[k]{a_k}: k \in \IN\}[/mm]
>
> Setze nun [mm]a_n:=||T^n||.[/mm]
>
> Dann hat [mm](a_n)[/mm] die Eigenschaft (*) (ist Dir klar, warum ?)
Eigenschaft (*) gilt meiner Meinung nach, da die Norm submultiplikativ ist. Soll heißen:
[mm] \Vert(TS)\Vert<\Vert T\Vert\Vert S\Vert
[/mm]
Insbesondere gilt dies dann auch für [mm] T^m [/mm] und [mm] T^n, [/mm] da [mm] T\in{}L(X,X)
[/mm]
>
> Somit ist also [mm](\wurzel[n]{||T^n||})[/mm] konvergent und ihr
> Grenzwert ist
>
> [mm]\inf \{\wurzel[k]{||T^k||}: k \in \IN\}.[/mm]
>
> Wegen [mm]||T^m||<1[/mm] ist auch [mm]\wurzel[/mm] [m][mm]{||T^m||}[/mm] <1.
>
> Damit hat die Folge [mm](\wurzel[n]{||T^n||})[/mm] einen Grenzwert <1.
>
> Nach dem Wurzelkriterium ist dann [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\Vert{T^n}\Vert<\infty[/mm]
Vielen Dank, Fred! Das Wurzelkriterium. Oft benutzt und dann wieder in diesem Zusammenhang vergessen.
Falls noch jemand Anregungen zu dieser Aufgabe hat, ist willkommen.
Viele Grüße!
>
> Gruß FRED
> >
> >
> > Über Kommentare, Hinweise, Korrekturen,... freue ich
> > mich.
> >
> > Schönen Mittwoch euch allen.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Schön wieder auf den Boden
> der Tatsachen zu gelangen. Manches ist eben doch nicht so
> einfach wie man denkt.
>
> > > Sei X ein Banachraum und [mm]T\in{L(X,X)}.[/mm] Man beweise, dass
> > > die folgenden Bedingungen äquivalent sind.
> > >
> > > (i) Die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert in
> > > Operatornorm.
> > > (ii) Es existiert eine natürliche Zahl m mit
> > > [mm]\Vert{T^m}\Vert<1[/mm]
> > > (iii) Die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert
> > > absolut, d.h. [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty[/mm]
> > > Hallo ihr da draußen,
> > >
> > > zu der Aufgabe habe ich ein paar Fragen, bzw. bitte ich um
> > > Hinweise zu meinen Ausführungen.
> > >
> >
> > Hallo Richie,
> >
> >
> >
> >
> > > iii)->i)
> > > Es gelte also
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert<\infty.[/mm]
> > > Dann ist aber
> > >
> >
> [mm]\infty>\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert>\left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert,[/mm]
> >
> > Nein, so kannst Du das nicht machen !
> Das kann ich noch nicht so richtig nachvollziehen.
>
> Ja, ich möchte die Konvergenz von [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}[/mm]
> nachweisen. Oder noch spezieller: Ich will zeigen, dass
> [mm]\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\Vert[/mm] endlich ist.
> Nun habe ich [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\Vert{T^k}\Vert=\Vert T^0\Vert+\Vert T^1\Vert+\Vert T^2\Vert+\ldots\stackref{>}{\Delta-UG}\Vert T^0+T^1+T^2+\ldots\Vert=\Vert\sum_{k=0}^{\infty}T^k\Vert[/mm]
>
> Die Eigenschaft, dass die Dreiecksungleichung auch bei der
> Reihe gilt sichert mir doch die absolute Konvergenz.
> Nach Majorantenkriterium würde nun aber
> [mm]\Vert\sum_{k=0}^{\infty}T^k\Vert[/mm] konvergieren.
>
> Ich sehe einfach noch nicht meinen Fehler in der
> Überlegung.
Hallo Richie,
Ich zeig Dir mal , was Du gemacht hast: sei $(E,||*||)$ ein normierter Raum und [mm] (x_n)_{n \ge 0} [/mm] eine Folge in E. Weiter sei voausgesetzt, dass die reelle Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}||x_n||
[/mm]
konvergiert. Zeigen willst Du: die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}x_n
[/mm]
konvergiert.
Jetzt kommst Du und sagst: "nach der Dreiecksungleichung ist
(*) [mm] $||\summe_{n=0}^{\infty}x_n|| \le \summe_{n=0}^{\infty}||x_n||$
[/mm]
und damit ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x_n [/mm] nach dem Majorantenkriterium konvergent".
Das ist aber Unfug ! Warum? Darum: um die Ungl. (*) überhaupt hinschreiben zu können, musst Du doch schon wissen, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x_n [/mm] konvergent ist. Das willst Du doch aber gerade zeigen !!!
Ich habe ganz bewusst oben nicht gefordert, dass E vollständig ist. Wenn Dein "Beweis" richtig wäre, so hätten wir folgenden
Satz: Ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x_n [/mm] eine absolut konvergente Reihe in einem normierten Raum, so ist diese Reihe auch konvergent.
Dieser Satz ist aber falsch !
Richtig lautet er so:
Satz: Ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x_n [/mm] eine absolut konvergente Reihe in Banachraum, so ist diese Reihe auch konvergent und es gilt die Dreiecksungleichung
[mm] ||\summe_{n=0}^{\infty}x_n|| \le \summe_{n=0}^{\infty}||x_n||.
[/mm]
Es geht also so: Vorauusetzungen: E Banachraum und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x_n [/mm] absolut konvergent.
Dann wird gezeigt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x_n [/mm] konvergiert und es gilt die [mm] \Delta [/mm] - Ungleichung.
Was Du gemacht hast: [mm] \Delta [/mm] - Ungleichung auf eine Reihe loslassen, von der man erst zeigen will, dass sie konvergiert, und dann die Konvergenz der Reihe zeigen.
Das ist von vorne nach hinten durch die Brust und falsch.
Noch etwas: es gibt Beispiele normierter Räume und darin Reihen, die zwar absolut konvergieren, aber nicht konvergieren. Solche Räume sind natürlich nicht vollständig.
In Deinem Beweis hast Du die Vollständigkeit gar nicht benutzt, also könnte es nach Deinem "Beweis" solche Beispiele gar nicht geben.
Gruß FRED
> >
> > Die Konvergenz von [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}[/mm] willst Du doch
> > zeigen. Dann kannst Du doch nicht in Ungleichungen mit
> > [mm]||\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}||[/mm] um Dich werfen !!
> >
> >
> > Sicher hattet, dass eine absolut konvergente Reihe in einem
> > Banachraum auch konvergiert.
> >
> > Da X ein Banachraum ist, ist auch L(X,X) ein Banachraum.
> Damit ist es schon klarer. Ich könnte hier auch auf eine
> Cauchyfolge zurückgreifen, diese konvergiert in dem Raum,
> da L(X,X) vollständig.
> >
> >
> >
> > > aufgrund von [mm]\Vert(S+T)\Vert<\Vert S\Vert+\Vert T\Vert[/mm] und
> > > der Eigenschaft, dass die Reihe absolut konvergiert (daher
> > > Benutzung der Dreiecksungleichung).
> > >
> > > i)->ii)
> > > Es gelte
> > > [mm]\left\Vert\sum_{k=0}^{\infty}{T^k}\right\Vert<\infty.[/mm]
> >
> >
> > So würde ich das nicht schreiben. Die Vor. lautet:
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}T^k[/mm] konvergiert in Operatornorm.
> >
> > > Dann
> > > muss aber [mm]T^k[/mm] eine Nullfolge sein.
> >
> > Ja
> >
> >
> > > Es gilt daher [mm]\Vert{T^k}\Vert\to{0}.[/mm] Inbesondere existiert
> > > daher ein [mm]m\in\IN[/mm] mit [mm]\Vert{T^m}\Vert<1[/mm]
> >
> > ja
> >
> >
> > >
> > > Ich habe auch versucht, die Behauptung über einen
> > > Widerspruch zu erzeugen. Komme da aber nicht wirklich
> > > weiter. Wäre das auch möglich? Habt ihr eventll. Tips
> > > dazu?
> >
> > Wozu ? Obiges ist doch kurz und einfach !
> Ja das stimmt. Ich wollte einfach noch einmal einen
> anderen Beweis versuchen. Einfach an der Freude und nicht
> um die Aufgaben schnell hinter mir zu lassen.
> Daher bin ich Ideen und Ansätzen immer noch offen.
> >
> >
> > >
> > > ii)->iii)
> > > Mir fehlt hier der Ansatz. Erste Idee: zeige, dass
> > > [mm]\Vert{T^n}\Vert<1[/mm] für [mm]n\ge{m}[/mm]
> >
> > Es gilt folgendes:
> >
> > Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge in [0, [mm]\infty)[/mm] mit der Eigenschaft:
> >
> > (*) [mm]a_{n+m} \le a_n*a_m[/mm] für alle n,m [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Dann ist die Folge [mm](\wurzel[n]{a_n})[/mm] konvergent und hat
> > den Grenzwert [mm]\inf \{\wurzel[k]{a_k}: k \in \IN\}[/mm]
> >
> > Setze nun [mm]a_n:=||T^n||.[/mm]
> >
> > Dann hat [mm](a_n)[/mm] die Eigenschaft (*) (ist Dir klar, warum ?)
> Eigenschaft (*) gilt meiner Meinung nach, da die Norm
> submultiplikativ ist. Soll heißen:
> [mm]\Vert(TS)\Vert<\Vert T\Vert\Vert S\Vert[/mm]
> Insbesondere gilt
> dies dann auch für [mm]T^m[/mm] und [mm]T^n,[/mm] da [mm]T\in{}L(X,X)[/mm]
> >
> > Somit ist also [mm](\wurzel[n]{||T^n||})[/mm] konvergent und ihr
> > Grenzwert ist
> >
> > [mm]\inf \{\wurzel[k]{||T^k||}: k \in \IN\}.[/mm]
> >
> > Wegen [mm]||T^m||<1[/mm] ist auch [mm]\wurzel[/mm] [m][mm]{||T^m||}[/mm] <1.
> >
> > Damit hat die Folge [mm](\wurzel[n]{||T^n||})[/mm] einen Grenzwert <1.
> >
> > Nach dem Wurzelkriterium ist dann [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\Vert{T^n}\Vert<\infty[/mm]
> Vielen Dank, Fred! Das Wurzelkriterium. Oft benutzt und dann wieder in diesem Zusammenhang vergessen.
>
> Falls noch jemand Anregungen zu dieser Aufgabe hat, ist willkommen.
>
> Viele Grüße!
> >
> > Gruß FRED
> > >
> > >
> > > Über Kommentare, Hinweise, Korrekturen,... freue ich
> > > mich.
> > >
> > > Schönen Mittwoch euch allen.
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Do 28.11.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
ich habe mir nun deine Ausführungen mehrmals durchgelesen und der Helligkeit des Erkenntnisstands ähnelt derzeit einer 80 Watt-Glühlampe. Tendenz steigend.
Es ist halt immer schwer sich von der eigenen Meinung abzuwenden. 
Danke für deine ausführliche Antwort. Sie hat mir eindeutig geholfen. Die Kommunikation mit dir ist besser als ein Lehrbuch.
Einen schönen Donnerstag wünsche ich!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich habe mir nun deine Ausführungen mehrmals durchgelesen
> und der Helligkeit des Erkenntnisstands ähnelt derzeit
> einer 80 Watt-Glühlampe.
> Tendenz steigend.
Prima !
>
> Es ist halt immer schwer sich von der eigenen Meinung
> abzuwenden.
>
> Danke für deine ausführliche Antwort. Sie hat mir
> eindeutig geholfen. Die Kommunikation mit dir ist besser
> als ein Lehrbuch.
>
> Einen schönen Donnerstag wünsche ich!
Ich Dir auch. Ich muß heute noch von 17:30-19:00 Uhr vorlesen. Aber danach gehts nach dem Motto:
Der Kopf ist heiß, die Füsse stinken, ich geh jetzt mal ein Bierchen trinken.
Gruß FRED
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