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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{1+a^{n}} [/mm] |
Hallo zusammen,
bei mir steht bald die Ana 1 Klausur an und ich habe hier eine Aufgabe, von den Übungsaufgaben, bei der ich nicht auf die Lösung komme.
Mein Vorschlag ist, die Konvergenz mithilfe des Majorantenkriteriums zu beweisen. Sprich ich muss eine Folge [mm] b_{n}\ge a_{n} [/mm] abschätzen, bei welcher ich die Reihenkonvergenz zeigen kann.
Komme aber nicht auf eine solche. Kann mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße
kaykay_22
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Hallo,
eine Majorante wäre in jedem Fall gegeben durch
[mm] \bruch{1}{a^n}
[/mm]
Das ist die geometrische Reihe, und von daher sollten wir mal noch klären, was über a so bekannt ist. Denn davon hängt die Konvergenz ja dann ganz entscheidend ab.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Di 29.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> eine Majorante wäre in jedem Fall gegeben durch
>
> [mm]\bruch{1}{a^n}[/mm]
Für [mm] a\ge0 [/mm] bestimmt...
Über $a<0$ sollte man lieber getrennt nachdenken.
> Das ist die geometrische Reihe, und von daher sollten wir
> mal noch klären, was über a so bekannt ist. Denn davon
> hängt die Konvergenz ja dann ganz entscheidend ab.
In der Tat, in der Tat. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 29.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Hallo Diophant,
>
> > eine Majorante wäre in jedem Fall gegeben durch
> >
> > [mm]\bruch{1}{a^n}[/mm]
>
> Für [mm]a\ge0[/mm] bestimmt...
>
> Über [mm]a<0[/mm] sollte man lieber getrennt nachdenken.
Stimmt: soweit habe ich gar nicht gedacht.
>
> > Das ist die geometrische Reihe, und von daher sollten wir
> > mal noch klären, was über a so bekannt ist. Denn davon
> > hängt die Konvergenz ja dann ganz entscheidend ab.
>
> In der Tat, in der Tat.
>
> Grüße
> reverend
>
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 29.01.2013 | | Autor: | kaykay_22 |
Sorry vergessen!!!!! a>1.
Deine Majorante hatte ich auch schon, wusste aber nicht mehr damit anzufangen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Di 29.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo kaykay,
> Sorry vergessen!!!!! a>1.
Das ist eine wichtige Information. 
> Deine Majorante hatte ich auch schon, wusste aber nicht
> mehr damit anzufangen.
Und - weißt Dus jetzt?
Mach mal einen Versuch.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Di 29.01.2013 | | Autor: | kaykay_22 |
Nein weiß leider immer noch nicht weiter. Bei [mm] 1/(a)^n [/mm] war ich ja schon...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Di 29.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ok.
> Nein weiß leider immer noch nicht weiter. Bei [mm]1/(a)^n[/mm] war
> ich ja schon...
Na, dann ist es ja nicht weit zu [mm] \left(\bruch{1}{a}\right)^n.
[/mm]
Dann Summenformel geometrische Reihe, mit [mm] q=\bruch{1}{a}<1.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Di 29.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Sorry vergessen!!!!! a>1.
> Deine Majorante hatte ich auch schon, wusste aber nicht
> mehr damit anzufangen.
Dann passt es doch mit
[mm] q=\bruch{1}{a}<1
[/mm]
Gruß, Diophant
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