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| Aufgabe | | Für welches [mm] \alpha \in [/mm] R ist dir Reihe [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (n/n^2+2)^\alpha [/mm] konvergenz bzw. absolut konvergent? Begründen sie ihre Antwort. |
also [mm] a_{k} [/mm] ist absolut konvergent, wenn [mm] a_{k} |a_{k}| [/mm] konvergiert!
[mm] -1^n [/mm] ist ja divergent!
[mm] n/(n^2+2) [/mm] konvergiert gegen 0!
Jedoch wie bekomm ich dieses alpha raus?
Vielen Dank!
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Hallo
kleiner Tipp, die harmonische Reihe ist eine gute "Vergleichsreihe", um ein "kritisches" [mm] \alpha [/mm] zu finden.
Dann habt iht ja bestimmt noch andere konvergente und divergente Reihen in der VL gehabt, die sich für einen Vergleich heranziehen lassen
(zB [mm] \summe\bruch{1}{q^k})
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Also ich habe mir mal folgendes überlegt:
der 2. Teil der Reihe konvergiert ja gegen 0!
Wenn jetzt mein alpha größer 1 ist, dann bedeutet dies ja, dass der Grenzwert ja "nur schneller erreicht" wird.
Aber ich glaub des stimmt nicht so ganz?!oder?!
die harmoniche Reihe ist ja divergent, nur die alternierende harmonische reihe ist konvergent.
komm grad nicht weiter :(
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Hallo
ja, dass die Summe der Reihenglieder eine Nullfolge bilden muss, ist NOTWENDIGES, aber kein hinreichendes Kriterium, wie die harmonische
Reihe ja zeigt.
Also ist eine Reihe, deren Partialsummen eine Nullfolge bilden, noch lange nicht kgt, aber eine Reihe, deren Partialsummen KEINE Nullfolge bilden, ist divergent
Ich mach mal ein Bsp [mm] \alpha
[/mm]
Nehmen wir mal an, [mm] \alpha=1
[/mm]
Dann hast du [mm] \summe_n(-1)^n\left(\bruch{n}{n^2+2}\right)^1 =\summe_n(-1)^n\left(\bruch{1}{n+\bruch{2}{n}\right)
[/mm]
Die hat doch schon eine Ähnlichkeit mit der harmonischen Reihe.
(Die alternierende harmonische Reihe konvergiert (Nach Leibniz),
die "normale" harmonische divergiert")
also ist zB [mm] \summe_n(-1)^n\left(\bruch{n}{n^2+2}}\right)^\alpha [/mm] für [mm] \alpha=1 [/mm] kovergent, aber nicht absolut konvergent.
Untersuche dann die Fälle [mm] \alpha>1 [/mm] und [mm] \alpha>1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Also für alpha > 1 dachte ich mir jetzt folgendes:
[mm] \summe_{i=1} (-1)^n [/mm] * [mm] (n/n^2+2)^\infty
[/mm]
---> 1/(n+n/2) geht gegen 0, ist konvergent
wäre das richtig?
und für alpha < 1 dachte ich mir, ich nehm einfach mal 0.5 d.h. ich kann
[mm] (-1)^n \wurzel]{1/(n^2+2)} [/mm] schreiben!
Aber wirklich bringt mich des nicht weiter gerade! kannst du mir nochmal helfen? Danke!
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> Also für alpha > 1 dachte ich mir jetzt folgendes:
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> [mm]\summe_{i=1} (-1)^n[/mm] * [mm](n/n^2+2)^\infty[/mm]
> ---> 1/(n+n/2) geht gegen 0, ist konvergent
>
> wäre das richtig? Nein, siehe meinen post von oben. Für die Konvergenz einer Reihe reicht die Kovergenz der Folge der Partialsummen nicht
>
> und für alpha < 1 dachte ich mir, ich nehm einfach mal 0.5
> d.h. ich kann
> [mm](-1)^n \wurzel]{1/(n^2+2)}[/mm] schreiben! ??
>
> Aber wirklich bringt mich des nicht weiter gerade! kannst
> du mir nochmal helfen? Danke!
schau dir mal [mm] \bruch{n}{n^2+2} [/mm] an. Was lässt sich darüber sagen (wie kann man das abschätzen?) und welchen Bezug zu den Reihen [mm] \summe_k\bruch{1}{q^k} [/mm] kann man herstellen?
Gruß
schachuzipus
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Also abschätzen würd ich mal sagen einfach durch 1/n! denn die + 2 machen minimal aus bei [mm] n->\infty [/mm] und dann kann man ja [mm] n/n^2 [/mm] kürzen.
Aber Bezug zu [mm] 1/q^k? [/mm] hmmm!
beide haben den Limes = 0!
Aber wie dann weitermachen?
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Hallo
Ich hab etwas schlampig mit den Variablen rumgehampelt - sorry
was ich aber eigentlich meinte, ist: [mm] \bruch{n}{n^2+1} [/mm] hat doch ungefähr die Gestalt [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] ist konvergent für [mm] \alpha>1 [/mm] und divergent für [mm] \alpha<1. [/mm]
Du solltest versuchen, deine Reihe gegen eine Reihe der Form [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{kn^\alpha} [/mm] , [mm] k\in\IZ [/mm] abzuschätzen.
dann kannste [mm] \bruch{1}{k^\alpha} [/mm] rausziehen und hast wieder die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha}
[/mm]
Durch Multiplikation mit einer festen Zahl ändert sich ja nichts an der Konvergenz
Die harmonische Reihe bildet also quasi eine "Grenzreihe" unter dieser Art Reihen.
Das sollte bei den Überlegungen zur absoluten Konvergenz helfen,
Für [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] schau dir das Leibnizkriterium nochmal an
und nun eine gute N8
schachuzipus
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Also das Kriterium hab ich mir jetzt nochmal angeschaut! aber komm damit grad nicht weiter!
kann mir jemand nochmal helfen?
Danke
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> Also das Kriterium hab ich mir jetzt nochmal angeschaut!
> aber komm damit grad nicht weiter!
Hallo,
mit dem bloßen Angucken ist es meist nicht getan...
Wie lautet das Leibnizkriterium?
Wie lautet Deine Reihe?
Was hat Deine Reihe mit dem Leibnizkriterium zu tun?
Was müßtest Du klären, um das Kriterium anwenden zu können?
Gruß v. Angela
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Hallo,
mit dem bloßen Angucken ist es meist nicht getan...
---> des meinte ich auch nicht mit anschauen! ich hab natürlich des nicht nur durchgelesen und angeschaut sondern auch versucht den Bezug her zu stellen!
Wie lautet das Leibnizkriterium?
--->Sei (an) eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die unendliche alternierende Reihe
Es genügt nicht, dass (an) nur eine Nullfolge ist, die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium.
Was hat Deine Reihe mit dem Leibnizkriterium zu tun?
--->meine Reihe ist auch eine alternierende Reihe und eine Nullfolge, desweiteren ist sie monoton fallend. d.h. die Kriterien wären erfüllt?!
Was müßtest Du klären, um das Kriterium anwenden zu können?
---> darauf komm ich gerade nicht!
Hoff kann mir jemand nochmal helfen!
Danke!
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Hallo
also nochmal:
du solltest zunächst [mm] \bruch{n}{n^2+2}=\bruch{1}{n+\bruch{2}{n}} [/mm] und zwar so:
[mm] \bruch{1}{2n}\le\bruch{1}{n+\bruch\{2}{n}}\le{1}{n}
[/mm]
Damit hast du eine Abschätzung nah oben und nach unten.
Zunächst betrachten wir absolute Konvergenz:
Für welche [mm] \alpha [/mm] ist denn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] kovergent
und für welche [mm] \alpha [/mm] ist [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(2n)^\alpha}=\bruch{1}{2^\alpha}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha}
[/mm]
divergent?
Dann hättest du nach dem Vergleichskriterium konvergente Majoranten und divergente Minoranten zu deiner Reihe gefunden.
Bedenke noch, dass absolut kovergente Reihen auch konvergent sind.
Dann fallen einige Fälle für die Untersuchung von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] bzw [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{(2n)^\alpha} [/mm] weg
Gruß
schachuzipus
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die reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] $ ist konvergent für [mm] \alpha [/mm] > 1
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(2n)^\alpha}=\bruch{1}{2^\alpha}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] $
ist divergent für [mm] \alpha<1.
[/mm]
Würd ich jetzt so sagen. Weis nicht ob des stimmt?!
also wenn sie konvergent ist müsste ja nach dem Majorantenkriterium gelten, dass an [mm] \le [/mm] bn ist, bn konvergent---> an absolut konvergent.
aber nach der Abschätzung meiner Folge ist ja bn [mm] \le [/mm] an! also 1/2n [mm] \le [/mm]
[mm] \bruch{n}{n^2+2}
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{2n}\le\bruch{1}{n+\bruch\{2}{n}}\le{1}{n} [/mm] $
---> wie kommt man auf dieses hier?
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Jo hi
Nun, wenn du in [mm] \bruch{1}{n+\bruch{2}{n}} [/mm] den Nenner verkleinerst, vergrößert sich der Bruch [mm] (\bruch{1}{3}<\bruch{1}{2})
[/mm]
Also [mm] \bruch{1}{n+\bruch{2}{n}}<\bruch{1}{n} [/mm] , denn [mm] \bruch{2}{n}>0
[/mm]
Wenn man hingegen den Nenner vergrößert, wird der Bruch kleiner
Also wegen [mm] n+\bruch{2}{n}<2n [/mm] gilt [mm] \bruch{1}{n+\bruch{2}{n}}>\bruch{1}{2n}
[/mm]
Für die absolute Kovergenz hast du also mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] eine für [mm] \alpha>1 [/mm] konvergente Majorante gefunden.
In die andere Richtung ist [mm] \bruch{1}{2^\alpha}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^\alpha} [/mm] für [mm] \alppha<1 [/mm] eine divergente Minorante zu deiner Reihe
Gruß
schachuzipus
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ok, aber ich sollte ja ein alpha finden, für das meine Folge konvergent ist und ein alpha für dass sie absolut konvergent ist!
[mm] \bruch{1}{n+\bruch{2}{n}}
[/mm]
dies war ja meine Folge! heist dass also dass diese Folge für alpha > 1 konvergent ist?
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Hi
ja und zwar sogar absolut!
Gruß
schachuzipus
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ok vielen vielen dank!
aber ich sollte ja auch noch ein alpha angeben für dass diese Reihe nur konvergent ist?!
oder kann ich einfach sagen, da ja jede Reihe, die absolut konvergent ist, auch konvergent ist, hier auch zu trifft? Oder brauch ich ein anderes alpha dafür?
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Hallo
aufmerksamer lesen
steht alles oben
Für [mm] \alpha>1 [/mm] ist die Reihe absolut konvergent, mithin auch konvergent
Für [mm] \alpha=1 [/mm] hast du die harmonische bzw die alternierende harmonische
Reihe als Vergleichsreihe. Die alternierende konvergiert nach Leibnitz, die "normale" nicht, also für [mm] \alpha=1 [/mm] Kovergenz, aber keine absolute Konvergenz
und für [mm] \alpha<1...?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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