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Reihen: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Sa 20.11.2004
Autor: Nadja


Hallo zusammen

Kann mir vielleicht jemand ein Tipp geben wie ich das zeigen kann.

Die Zahl x  [mm] \in [/mm] [0,1) habe die Dezimalbruchentwicklung
x=0,z1z2z3...

Zeigen Sie: x ist genau dann rational,wenn diese Entwicklung von einer Stelle N an periodisch ist (also: es gibt ein p  [mm] \in \IN [/mm] so,dass z(n+p)=zn ist für n>=N)


Danke euch.

Nadja

Ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.


        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Sa 20.11.2004
Autor: FriedrichLaher

Hallo, Nadja

genügt Dir der Tip "Summe einer geometrischen Reihe" ?

Gruß F.

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Bezug
Reihen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Mo 22.11.2004
Autor: Yellowbird

Hallo
Also ich weiß nicht so recht, wie man die Summe einer geometrischen Reihe auf diese Aufgabe anwenden kann.? Kannst du das vielleicht noch ein wenig erläutern?

Bezug
                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mo 22.11.2004
Autor: FriedrichLaher

Hallo, Yellobird,


der Rest $R$ ab der Stelle N, also beginend mit der Ziffer zu [mm] $10^{-n}$ [/mm] ist

$R = [mm] 10^{-(N+p-1)} Z*\summe_{k \ge 0} (10^{-p})^k [/mm] $
wobei,
$Z = [mm] \summe_{i=0}^{p-1}z_{N+i}*10^{p-i-1}$ [/mm] also der Wert der
Periodenziffern als Zahl gelesen ist.
Damit ist $R$ also der ( rationale ) Wert der Summe einer geometrischen Reihe



Bezug
                                
Bezug
Reihen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 Mi 24.11.2004
Autor: Yellowbird

Also irgendwie komme ich mit der  Aufgabe keinen Schritt witer, ich beiße mir schon die ganze Zeit die Zähne daran aus. Also: " Die Aufgabenstellung lautet ja "Die Zahl x aus dem halboffenen Intervall 0,1habe die Dezimalbruchentwicklung x=o,z1z2z3  Zeigen Sie x ist genau dann rationael, wenn diese Entwicklung von einer Stelle n an periodisch ist " Ich muss ja hier zwei Richtungen zeigen einmal davon ausgehen, dass x rational ist und einmal dass  die Darstellung von einer Stelle an periodisch ist. Aber irgendwie bekomme ich überhaupt keine Verbindungen hergestellt, geschweige denn irgendetwas formal aufegschrieben. kann mir bitte jemand helfen, es ist dringend denn ich benötige die Aufgabe bis morgen!!!!!!!!!!!!!!

Bezug
                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Mi 24.11.2004
Autor: FriedrichLaher

Hallo, Yellobird

${p,q} [mm] \subset \IN$, [/mm] p < q

die Division p : q  bricht entweder ab oder ist periodisch.

Wenn sie abbricht, kannst Du die letzte Ziffer, z, durch z-1 ersetzen und die einstellige Periode aus lauter 9nern folgen lassen

( die Summer dieser unendlichen geometrischen Reihe ergibt auch wieder die 1 die der letzten Ziffer abgezogen wurde
)

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