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| Aufgabe | | Zeigen Sie mit dem für gerade m angedeuteten Gaußschen Rezept, dass die Formel für die Summe der ersten m natürlichen Zahlen [mm] \summe_{n=1}^{m} [/mm] n = [mm] \bruch{m}{2} [/mm] (m+1) auch für ungerade m gilt. |
Hallo zusammen!
Irgendwie tut sich bei mir bei dieser Aufgabe nur ein großes Fragezeichen auf. Das "angedeutete Gaußsche Rezept" bezieht sich auf folgenden Beweis der Geometrischen Summe:
http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~hefft/vk1/k2/210b2.htm
Meine erste Überlegung war, dass ich eine ungerade Zahl b durch b = 2a - 1 ; a [mm] \in \IN [/mm] ausdrücken kann.
[mm] \summe_{n=1}^{(2a-1)} [/mm] n = 1 + 2 + 3 + ... + (2a - 2) + (2a - 1)
--- Jetzt das letzte mit dem ersten, das vorletzte mit dem zweiten und so weiter...
=2a + 2a + ... + a = [mm] \bruch{(2a - 1)}{2} [/mm] ((2a - 1) + 1)
Das scheint mir soweit ganz solide (korregiert mich, wenn ich falsch liege). Aber... ich blicke leider nicht durch die "Musterlösung" durch:
http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~hefft/vk1/k2/223l0101.htm
Schon in der ersten Zeile: [mm] \bruch{m-1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{m-1}{2} [/mm] müsste ja das vorletzte Objekt der Reihe sein, aber woher kommt die 1? Und warum geht es anschließend mit kleiner werdenden Werten in der zweiten Zeile weiter?
Könnt ihr mir sagen, ob meine Lösung richtig ist und wo mein Denkfehler beim nachvollziehen der anderen Lösung ist?
Vielen Dank!
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Hallo!
Die haben das versucht, möglichst anschaulich aufzuschreiben, aber Anschaulichkeit ist immer ein gewisser Verlust an mathematischer Schönheit 
Du musst die Reihenfolge so lesen (roter Pfeil) und dir die beiden eingezeichneten Klammern noch dazudenken, dann ist es denk ich logisch
[Dateianhang nicht öffentlich]
Eigentlich steht also in der ersten Zeile gerade die Summe von 1 bis m mit einer "Zwischenstation" genau bei der Hälfte: [mm] \left(\bruch{m-1}{2} + 1\right) [/mm] :
[mm]1 + 2 + 3 + ... + \bruch{m-1}{2} + \left(\bruch{m-1}{2} + 1\right) + \left(\bruch{m-1}{2}+ 2\right) + ... + (m-2) + (m-1) + m[/mm]
Die haben das jetzt aber gleich untereinandergeschrieben, so dass dann die einzelnen Summanden entstehen, welche in der folgenden Zeile zelebriert werden.
---
Deine Lösung ist natürlich mathematisch richtig. Du hast dich allerdings zu stark an der ersten Lösung für gerade Zahlen orientiert, sodass der Knackpunkt bei deiner Lösung nicht durchdringt: Das Problem, dass wenn ich bis zu einer ungeraden Zahl aufsummiere, ich nicht jeweils zwei Zahlen gruppieren kann, sondern die genaue Mitte übrig bleibt! Oben war das gerade [mm] \left(\bruch{m-1}{2} + 1\right).
[/mm]
Und du sollst mit deiner Lösung zeigen, dass das kein Problem ist und trotzdem funktioniert: Dazu musst du genau die kritische Stelle bei der Hälfte untersuchen, so wie es in der Musterlösung geschehen ist.
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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