Reihen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 03.07.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Entscheiden Sie, ob die Reihe auch absolut konvergiert.
a) [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k$
[/mm]
b) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}$ [/mm] |
Hallo,
bei a) habe ich das Wurzelkriterium angwendet [mm] $\sqrt[k]{|a_k|}$
[/mm]
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\left|\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k\right|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{k}{2k+1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{k}}=\frac{1}{2}<1 \Rightarrow$ [/mm] Reihe ist abs. konvergent
b) hier hab ich erstmal das Quotientenkriterium versucht
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{2k+3}\cdot\frac{2k+1}{1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2k+1}{2k+3}=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2+\frac{1}{k}}{2+\frac{3}{k}}=1$
[/mm]
Bei =1 ist ja keine Aussage möglich. Könnt ihr mir einen Anstoss geben wie ich weitermache? Bin ich bei a) richtig vorgegangen?
Danke für Hilfe.
|
|
| |
|
> Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Entscheiden Sie,
> ob die Reihe auch absolut konvergiert.
>
> a) [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k[/mm]
> b) [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}[/mm]
> Hallo,
>
> bei a) habe ich das Wurzelkriterium angwendet
> [mm]\sqrt[k]{|a_k|}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\left|\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k\right|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{k}{2k+1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{k}}=\frac{1}{2}<1 \Rightarrow[/mm]
> Reihe ist abs. konvergent
hallo,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> b) hier hab ich erstmal das Quotientenkriterium versucht
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{2k+3}\cdot\frac{2k+1}{1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2k+1}{2k+3}=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2+\frac{1}{k}}{2+\frac{3}{k}}=1[/mm]
>
> Bei =1 ist ja keine Aussage möglich. Könnt ihr mir einen
> Anstoss geben wie ich weitermache? Bin ich bei a) richtig
> vorgegangen?
bei b) hilft eine divergente minorante:
[mm] \frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=...
[/mm]
stichwort: harmonische reihe
>
> Danke für Hilfe.
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 So 03.07.2011 | | Autor: | Trolli |
> bei b) hilft eine divergente minorante:
> [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=...[/mm]
>
> stichwort: harmonische reihe
> >
> > Danke für Hilfe.
>
> gruß tee
[mm] $\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},...=\frac{1}{3k}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\sum\frac{1}{2k+1}\ge\sum\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{k} [/mm] $
Das ist ja jetzt die harmonische Reihe und diese ist divergent, deshalb ist auch die Ausgangsreihe divergent.
So korrekt?
|
|
|
| |
|
Hallo Trolli,
> > bei b) hilft eine divergente minorante:
> > [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=...[/mm]
> >
> > stichwort: harmonische reihe
> > >
> > > Danke für Hilfe.
> >
> > gruß tee
>
> [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},...=\frac{1}{3k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\sum\frac{1}{2k+1}\ge\sum\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{k}[/mm]
>
> Das ist ja jetzt die harmonische Reihe und diese ist
> divergent, deshalb ist auch die Ausgangsreihe divergent.
>
> So korrekt?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 So 03.07.2011 | | Autor: | Trolli |
Ich danke Euch beiden.
|
|
|
|
