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Reihen von Mengen umformen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Mo 21.10.2013
Autor: Herbart

Hallo zusammen,

kann man folgendermaßen umformen:
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i))$ [/mm]
Dabei sind die [mm] $(A_i)_{i\in\IN}$ [/mm] Folgen von paarweise disjunkten Mengen in einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] und die [mm] $f_j$ [/mm] Maße.
Intuitiv würde ich sagen, dass das schon richtig ist, da die einzelnen [mm] f_j(A_i)\ge0 [/mm] (es sollte daher nichts unerwartetes passieren, dass die Gleichheit gefährden würde), aber im unendlichen bin ich immer etwas vorsichtiger.

MfG Herbart

(Thema passt auch zu Maßtheorie.)

        
Bezug
Reihen von Mengen umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Mo 21.10.2013
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> kann man folgendermaßen umformen:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i))[/mm]

ja, das ist richtig.


>  Dabei sind die [mm](A_i)_{i\in\IN}[/mm] Folgen von paarweise
> disjunkten Mengen in einer [mm]\sigma-Algebra[/mm] und die [mm]f_j[/mm]
> Maße.
>  Intuitiv würde ich sagen, dass das schon richtig ist, da
> die einzelnen [mm]f_j(A_i)\ge0[/mm] (es sollte daher nichts
> unerwartetes passieren, dass die Gleichheit gefährden
> würde), aber im unendlichen bin ich immer etwas
> vorsichtiger.

Unterscheide 2 Fälle:

1.  jede der Reihen [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_j(A_i) [/mm] konvergiert in [mm] \IR. [/mm]

Aus Analysis I wissen wir dann, dass auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i)) [/mm]  konvergiert und

  $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i)) [/mm] $

gilt.

Fall 2. es ex. ein j [mm] \in \{1,...,n\} [/mm]  mit: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_j(A_i) [/mm] ist divergent.

Dann ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)= \infty [/mm]




, da alle [mm] f_m(A_i) \ge [/mm] 0 sind. Aus diesem Grund ist auch

      [mm] f_1(A_i)+...+f_n(A_i) \ge f_j(A_i) [/mm]  für alle i.

Damit ist auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i)) [/mm]   = [mm] \infty. [/mm]

FRED

>  
> MfG Herbart
>  
> (Thema passt auch zu Maßtheorie.)


Bezug
                
Bezug
Reihen von Mengen umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Mo 21.10.2013
Autor: Herbart

Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Im 2. Fall war ich mir unsicher. Manchmal bin ich gedanklich wohl in eine Richtung etwas zu eingefahren ;-)

MfG Herbart

Bezug
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