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| Aufgabe | | Beweisen Sie [mm] \bruch{e^{\pi x} + e^{-\pi x}}{e^{\pi x} - e^{-\pi x}} [/mm] = 1 + [mm] 2\summe_{n=1}^{\infty}e^{-2n\pi x} [/mm] = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2\pi |n|x} [/mm] (x>0), und folgern Sie [mm] coth(\pi [/mm] x) = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{x}{\pi (x^{2}+n^{2})} [/mm] (x [mm] \not= [/mm] 0), indem Sie die Poissonsche Summenformel auf f(t) = [mm] e^{-2\pi x|t|} [/mm] (x > 0 fest) anwenden. |
Hallo,
den zweiten Teil der Aufgabe habe ich erledigt, nur fehlt der erste Teil, das heißt die erste Gleichung (die zweite ist klar). Leider habe ich da überhaupt keine Idee, für einen Hinweis wäre ich dankbar.
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Hallo Stefan123,
> Beweisen Sie [mm]\bruch{e^{\pi x} + e^{-\pi x}}{e^{\pi x} - e^{-\pi x}}[/mm]
> = 1 + [mm]2\summe_{n=1}^{\infty}e^{-2n\pi x}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2\pi |n|x}[/mm] (x>0), und
> folgern Sie [mm]coth(\pi[/mm] x) = [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{x}{\pi (x^{2}+n^{2})}[/mm]
> (x [mm]\not=[/mm] 0), indem Sie die Poissonsche Summenformel auf
> f(t) = [mm]e^{-2\pi x|t|}[/mm] (x > 0 fest) anwenden.
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> Hallo,
>
> den zweiten Teil der Aufgabe habe ich erledigt, nur fehlt
> der erste Teil, das heißt die erste Gleichung (die zweite
> ist klar). Leider habe ich da überhaupt keine Idee, für
> einen Hinweis wäre ich dankbar.
Erweitere den Bruch so, daß da steht:
[mm]\bruch{1+e^{-2\pi x}}{1-e^{-2\pi x}}=\summe_{n=0}^{\infty}{c_{n}*e^{-2\pi*x*n}}[/mm]
Definiere weiter: [mm]z=e^{-2\pi*x}[/mm]
Dann steht da:
[mm]\bruch{1+z}{1-z}=\summe_{n=0}^{\infty}{c_{n}*z^n}[/mm]
bzw.
[mm]1+z=\left(1-z\right)*\summe_{n=0}^{\infty}{c_{n}}[/mm]
Multipliziere dies aus und durch Koeffizientenvergleich
erhältst Du die Koeffizienten [mm]c_{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Stephan123 |
Hallo,
danke für die Antwort. Ich habe es nun etwas anders gemacht und den Ausdruck [mm] \summe_{n=1}^{\infty}e^{-2n\pi x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(e^{-2\pi x})^{n} [/mm] - 1 direkt über die geometrische Reihe ausgerechnet. Nach ein paar Umformungsschritten kommt man dann auf das gewünschte :) .
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