Reihendarstellung von exp(z) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Do 26.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo und guten Morgen,
ich habe mal eine Frage zur Exponentialfunktion. In meinem Skript steht folgender Ausdruck:
[mm] e^z [/mm] := exp(z) mit e:= 1 + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] + ....... [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
Dabei stellt ja exp(z) die Reihendarstellung der Exponentialfunktion [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} [/mm] dar und e entspricht ja dem Wert, der sich ergibt, wenn wir in die Reihendarstellung eine 1 einsetzen (also der Eulerschen Zahl e=2,71828....). Das ganze gilt ja nun für alle komplexen Zahlen z. Meine Frage dazu ist nun folgende:
Wie kann man zeigen, dass [mm] e^z [/mm] = exp(z) für alle komplexen Zahlen gilt. Für natürliche Zahlen kann man es ja ganz einfach durch vollständige Induktion zeigen. Aber wie kann man es für komplexe Zahlen zeigen?
Kann mir das jemand vielleicht sagen?
Vielen Dank schon mal und einen lieben Gruß,
Yonka!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und guten Morgen,
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> ich habe mal eine Frage zur Exponentialfunktion. In meinem
> Skript steht folgender Ausdruck:
>
> [mm]e^z[/mm] := exp(z) mit e:= 1 + [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3!}[/mm] + ....... [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IC[/mm]
>
>
> Dabei stellt ja exp(z) die Reihendarstellung der
> Exponentialfunktion [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm]
> dar und e entspricht ja dem Wert, der sich ergibt, wenn wir
> in die Reihendarstellung eine 1 einsetzen (also der
> Eulerschen Zahl e=2,71828....). Das ganze gilt ja nun für
> alle komplexen Zahlen z. Meine Frage dazu ist nun
> folgende:
>
> Wie kann man zeigen, dass [mm]e^z[/mm] = exp(z) für alle komplexen
> Zahlen gilt.
Da gibts nichts zu zeigen. Es ist eine Definition !
[mm] $e^z:= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} [/mm] $ für $z [mm] \in \IC$
[/mm]
FRED
> Für natürliche Zahlen kann man es ja ganz
> einfach durch vollständige Induktion zeigen. Aber wie kann
> man es für komplexe Zahlen zeigen?
>
> Kann mir das jemand vielleicht sagen?
>
> Vielen Dank schon mal und einen lieben Gruß,
> Yonka!
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> > Wie kann man zeigen, dass [mm]e^z[/mm] = exp(z) für alle komplexen
> > Zahlen gilt.
>
> Da gibts nichts zu zeigen. Es ist eine Definition !
>
> [mm]e^z:= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm] für [mm]z \in \IC[/mm]
>
> FRED
Hallo Fred,
falls man die Funktion exp auf diese Weise definiert,
bleibt aber nachzuweisen, dass sie im Reellen mit
der anders definierten Exponentialfunktion überein
stimmt und insbesondere etwa die Funktionalglei-
chung
$\ exp(z+w)=exp(z)*exp(w)$
erfüllt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Wie kann man zeigen, dass [mm]e^z[/mm] = exp(z) für alle komplexen
> > > Zahlen gilt.
> >
> > Da gibts nichts zu zeigen. Es ist eine Definition !
> >
> > [mm]e^z:= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm] für [mm]z \in \IC[/mm]
>
> >
> > FRED
>
>
> Hallo Fred,
>
> falls man die Funktion exp auf diese Weise definiert,
> bleibt aber nachzuweisen, dass sie im Reellen mit
> der anders definierten Exponentialfunktion überein
> stimmt
Hallo Al,
welche andere Definition meinst Du denn ?
> und insbesondere etwa die Funktionalglei-
> chung
>
> [mm]\ exp(z+w)=exp(z)*exp(w)[/mm]
Der saubere Zugang (oder besser: ein sauberer Zugang) geht so:
0. Die Eulersche Zahl e wird def. durch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n
[/mm]
1. Man zeigt: $e= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!} [/mm] $
2. Man zeigt, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] für jedes x [mm] \in \IR [/mm] absolut konvergiert. Damit wird eine Funktion [mm] $E:\IR \to \IR$, [/mm]
$E(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
definiert.
3. Mit dem Cauchyprodukt kann man zeigen: E(x+y)=E(x)E(y) für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
4. Nun zeigt man :
(i) [mm] $E(n)=e^n$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
(ii) [mm] $E(r)=e^r$ [/mm] für jedes r [mm] \in \IQ.
[/mm]
5. Jetzt definiert man für x [mm] \in \IR: $e^x:=E(x)$
[/mm]
6. Nun zeigt man , dass E auf [mm] \IR [/mm] streng wachsend ist und dass gilt: [mm] $E(\IR)=(0, \infty)$
[/mm]
Die Umkehrfunktion von E auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] nent man ln.
7. Und jetzt erst hat man die allgemeine Potenz:
[mm] $a^x:=e^{x*ln(a)}$ [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] und a>0.
8. Nun ist es naheliegend zu definieren:
[mm]e^z:= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm] für [mm]z \in \IC[/mm]
Gruß FRED
>
> erfüllt.
>
> LG Al-Chw.
>
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> Hallo Al,
>
> welche andere Definition meinst Du denn ?
Nun ja, im Reellen geht man doch so gewöhnlicher-
weise von den Grundoperationen aus, zuerst mit
ganzen, dann mit rationalen Zahlen. Damit kann
man Potenzen (und Exponentialfunktionen in der
Form von geometrischen Zahlenfolgen) einführen.
Der Grenzwertbegriff dient dann dazu, irrationale
Werte und die Menge [mm] \IR [/mm] einzuführen. Damit werden
beliebige Potenzen [mm] a^b [/mm] mit a>0 und [mm] b\in\IR [/mm] verfügbar.
$\ e$ kann man auch als Grenzwert einführen, und
damit die Funktion [mm] x\mapsto{e^x} [/mm] .
So aufgebaut, kommt man (zwar auf einem langwie-
rigen Weg, aber streng beweisbar), z.B. zur Gleichung
[mm] e^r*e^s=e^{r+s}
[/mm]
Wird nun eine "Exponentialfunktion" [mm] x\mapsto{exp(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k\,!}}
[/mm]
definiert, so ist doch zu beweisen, dass diese "neue"
Funktion mit der aus dem Reellen vertrauten Funktion
[mm] x\mapsto{e^x} [/mm] übereinstimmt.
Dein vorgeschlagener "saubere Zugang" ist meinem
Dafürhalten nach etwas akademisch und für eine
Vorlesung an der Uni auch sinnvoll. Die meisten
Hörer einer solchen Vorlesung haben aber eben schon
lange vorher mit Potenzen, Exponentialfunktionen und
Logarithmen gearbeitet, ohne die Summendarstellung
(Taylorreihe) der Exponentialfunktion überhaupt zu
kennen. Für diese Studenten muss dann doch die
Brücke zwischen der alten und der neuen Definition
gebaut werden .
LG Al-Chw.
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