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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Do 24.04.2008 | | Autor: | flubs |
| Aufgabe | | Schreiben Sie folgende Funktion f(x)=arccos x als Potenzreihe f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} [/mm] . Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist diese Darstellung von f(x) gültig? |
Hallo zusammen!
Ich habe mir zu der Aufgabe folgendes gedacht:
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] arccos x = - [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 - x^2}} [/mm] = -(1+ [mm] (-x^2))^{-\bruch{1}{2}} [/mm] .
Mit Hilfe der Binomischen Reihe ergibt sich :
-(1+ [mm] (-x^2))^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] -\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k x^{2k}
[/mm]
Das ist jetzt aber erst die Potenzreihe für die Ableitung von arccos x ... daher muss ich das ganze noch integrieren:
[mm] -\integral_{}^{}{\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k x^{2k} dx} [/mm] = [mm] -\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\bruch{(-1)^k }{k+1}x^{2k+2}
[/mm]
Damit wäre ich dann meiner Meinung nach fertig aber im Internet steht ein anderes Ergebnis :(
Das richtige Ergebnis ist [mm] \bruch{\pi}{2}-\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\bruch{(-1)^k }{2k+1}x^{2k+1}
[/mm]
aber wie bitte kommt man da zu [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ? Was habe ich falsch gemacht ?
Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal im Voraus
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> Schreiben Sie folgende Funktion f(x)=arccos x als
> Potenzreihe f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}[/mm] . Für
> welche x [mm]\in \IR[/mm] ist diese Darstellung von f(x) gültig?
> Hallo zusammen!
> Ich habe mir zu der Aufgabe folgendes gedacht:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] arccos x = - [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - x^2}}[/mm] =
> -(1+ [mm](-x^2))^{-\bruch{1}{2}}[/mm] .
> Mit Hilfe der Binomischen Reihe ergibt sich :
> -(1+ [mm](-x^2))^{-\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm]-\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k x^{2k}[/mm]
>
> Das ist jetzt aber erst die Potenzreihe für die Ableitung
> von arccos x ... daher muss ich das ganze noch
> integrieren:
>
> [mm]-\integral_{}^{}{\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}(-1)^k x^{2k} dx}[/mm] bis hierher alles o.k. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = [mm]-\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\bruch{(-1)^k }{k+1}x^{2k+2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") hier falsch integriert !
>
> Damit wäre ich dann meiner Meinung nach fertig aber im
> Internet steht ein anderes Ergebnis :(
>
> Das richtige Ergebnis ist
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\bruch{(-1)^k }{2k+1}x^{2k+1}[/mm]
>
> aber wie bitte kommt man da zu [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ? Was habe
> ich falsch gemacht ?
[mm]\bruch{\pi}{2} [/mm] muss die Integrationskonstante sein, deren Wert sich nicht automatisch ergibt, weil ja beim ursprünglichen Ableiten eine allfällige additive Konstante verloren geht. Man kann sie berechnen, wenn man einen bekannten Wert einsetzt, hier am besten x = 0 !
Gruß al-Chwarizmi
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