Reihenentwicklung für tanh (x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie für die Funktion tanh x = [mm] \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} [/mm] eine Entwickklung der Form
a) [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}e^{2nx} [/mm] in [mm] (-\infty,0)
[/mm]
b) [mm] \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}e^{-2nx} [/mm] in [mm] (0,\infty)
[/mm]
Hinweis: bestimmen Sie eine Potenzreihenentwicklung der Funktion h(x) = [mm] \frac{x - 1}{x + 1} [/mm] in (-1,1) oder verwenden Sie die geometrische Reihe. |
Hallo,
erstmal habe ich versucht den Hinweis umzusetzen:
h(x) = [mm] \frac{x - 1}{x + 1} [/mm] = 1 - [mm] 2\frac{1}{x+1}
[/mm]
Für |x|<1 gilt:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-x}
[/mm]
Damit folgt: h(x) = 1 - 2 [mm] \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^{n}
[/mm]
ersetze ich nun x durch [mm] e^{2x} [/mm] folgt:
tanh(x) = 1 - 2 [mm] \sum_{n=0}^{\infty} (-e^{2x})^{n}
[/mm]
für [mm] a_{n} [/mm] = 2 gilt dann:
tanh(x) = 1 - [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (-e^{2x})^{n}
[/mm]
Das ganze würde dann für x [mm] \in (-\infty,0) [/mm] gelten, da hier [mm] e^{2x} [/mm] < |1| gilt.
Nur sieht das ganze nicht so aus wie in der Aufgabenstellung. Was mich auch stört ist, dass bei dem Hinweis Potenzreihenentwicklung ODER geometrische Reihe steht, für die Potenzreihenentwicklung verwende ich aber die geometrische Reihe.
Was genau ist nun falsch, bzw. muss ich anders machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 29.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist doch alles richtig, as Minuszeichen kannst du in das [mm] a_n [/mm] ziehen, dann hast du das gesuchte ergebnis.
da die geom. Reihe auch die potenzreihe von 1/(1-x) ist, ist das wirklich dasselbe, du könntest natürlich auch den ganzen Bruch in ne Potenzreihe entwickeln.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:11 Sa 30.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Stephan
> Hallo,
> erstmal habe ich versucht den Hinweis umzusetzen:
>
> h(x) = [mm]\frac{x - 1}{x + 1}[/mm] = 1 - [mm]2\frac{1}{x+1}[/mm]
> Für |x|<1 gilt:
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm] = [mm]\frac{1}{1-x}[/mm]
>
> Damit folgt: h(x) = 1 - 2 [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (-x)^{n}[/mm]
>
> ersetze ich nun x durch [mm]e^{2x}[/mm] folgt:
> tanh(x) = 1 - 2 [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (-e^{2x})^{n}[/mm]
>
> Das ganze würde dann für x [mm]\in (-\infty,0)[/mm] gelten, da
> hier [mm]e^{2x}[/mm] < |1| gilt.
Warum die Betragsstriche um die Eins? Die ist doch
so wie so positiv. Meinst Du [mm] $|e^{2\cdot x}|<1$?
[/mm]
> Nur sieht das ganze nicht so aus wie in der
> Aufgabenstellung.
So weit ist es richtig. Aber es geht noch weiter.
Jetzt [mm] $(-e^{2x})^{n}$ [/mm] aufsplitten in $ [mm] (-1)^{n}\cdot (e^{2x})^{n}$ [/mm] und das Minus in die
Summe ziehen : tanh(x) = 1 + [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\cdot 2\cdot e^{2\cdot n\cdot x}[/mm]
Der Term in der Summe liefert für $n=0 : [mm] (-1)\cdot 2\cdot [/mm] 1 = -2$
Addiert man dazu die 1 von vor der Summe so ergibt sich [mm] $a_0=-1$.
[/mm]
Wie Du bereits richtig erkannt hast ist die zwei ein Faktor
in den Koeffizienten.
Alles in allem ist [mm] $\tanh(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n\cdot e^{2\cdot n\cdot x}$ [/mm] mit [mm] $a_0=-1,\quad a_{n>0}=(-1)^{n+1}\cdot [/mm] 2$.
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Sa 30.03.2013 | | Autor: | Stephan123 |
Hallo,
danke für eure Antworten.
Warum ich die 1 in Betragsstiche gesetzt habe weiß ich nicht mehr genau, aber du hast recht, für x [mm] \in (-\infty,0) [/mm] gilt ja 0 < [mm] e^{2x} [/mm] < 1 . Ja, den Rest in die Folge mit reinzuziehen hatte mir noch gefehlt, danke für die Hinweise.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Sa 30.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Moin Stephan,
gern geschehen.
Ich bin sicher, dass Du den b)-Teil
jetzt alleine hinkriegst.
Gruß
Kai
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