Reihenentwicklung von Integral < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse das Anfangswertproblem [mm]y'=-y+\dfrac{1}{1+x^{2}},\;y(0)=0[/mm]
Drücke die Lösung in der Form [mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}(...)\;dt[/mm] aus (...) und gewinne damit eine Darstellung von y(x) in der Form [mm][mm] y(x)=e^{-x}\mathlarger{\sum_{0}^{\infty}}a_{k}x^{2k+1}+\mathlarger{\sum_{0}^{\infty}}b_{k}x^{2k+2}. [/mm] (...) |
Die Funktion in Integralform selber habe ich schon leicht bestimmen können, allerdings komm ich bei der Reihenentwicklung nicht weiter. Das Lösungsintegral lautet: [mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\;dt[/mm].
Bei der Reihenentwicklung war mein Ansatz, erstmal den Bruch [mm]\dfrac{1}{1+t^{2}}[/mm] durch seine Reihenentwicklung zu ersetzen und dann partiell zu integrieren. Übrig bleibt ein Ausdruck mit [mm]e^{t}[/mm], den ich nicht auf die richtige Form
[mm]e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\;dt=e^{-x}\left[\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}\right)x^{2k+1}+\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+2}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\right)x^{2k+2}\right][/mm]
bekomme. Es wäre schön, wenn mir einer beispielhaft zeigen könnte, wie man dieses verflixte Integral nun in Reihe entwickelt und ggf. noch in die richtige Form bringt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://netmathematik.de/forum/index.php?page=Thread&postID=27374#post27374
Grüße
Feuervogel
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Hallo Feuervogel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Löse das Anfangswertproblem
> [mm]y'=-y+\dfrac{1}{1+x^{2}},\;y(0)=0[/mm]
> Drücke die Lösung in der Form
> [mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}(...)\;dt[/mm] aus (...) und
> gewinne damit eine Darstellung von y(x) in der Form
> [mm][mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\sum_{0}^{\infty}}a_{k}x^{2k+1}+\mathlarger{\sum_{0}^{\infty}}b_{k}x^{2k+2}.[/mm] (...)
Die Funktion in Integralform selber habe ich schon leicht bestimmen können, allerdings komm ich bei der Reihenentwicklung nicht weiter. Das Lösungsintegral lautet: [mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\;dt[/mm].
Bei der Reihenentwicklung war mein Ansatz, erstmal den Bruch [mm]\dfrac{1}{1+t^{2}}[/mm] durch seine Reihenentwicklung zu ersetzen und dann partiell zu integrieren. Übrig bleibt ein Ausdruck mit [mm]e^{t}[/mm], den ich nicht auf die richtige Form
[mm]e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\;dt=e^{-x}\left[\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}\right)x^{2k+1}+\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+2}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\right)x^{2k+2}\right][/mm]
Unter der Annahme, daß obige Darstellung richtig ist,
kannst Du jetzt definieren:
[mm]\blue{a_{k}:=\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}}[/mm]
[mm]\blue{b_{k}:=\dfrac{(-1)^{k}}{2k+2}{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}[/mm]
bekomme. Es wäre schön, wenn mir einer beispielhaft zeigen könnte, wie man dieses verflixte Integral nun in Reihe entwickelt und ggf. noch in die richtige Form bringt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://netmathematik.de/forum/index.php?page=Thread&postID=27374#post27374
Grüße
Feuervogel
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Feuervogel |
Das hilft mir leider nicht weiter. Dass die Koeffizienten Definitionssache sind, ist mir klar. Auch scheint es mir, als ob die große obige Formel als Lösung von mir fehlinterpretiert wurde, dabei handelt es sich aber um die Lösung aus dem Buch, dessen Form es zu erreichen gilt. ;) Mir ist nur nicht der Weg bewusst, wie man nun dort zu obiger Wurst hingelangt bzw. verliere ich den Überblick. Das war meine eigentliche Frage.
Schön wäre eine ausführliche Lösung zum Nachvollziehen, da dies meine erste Aufgabe dieser Art ist.
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Hallo Feuervogel,
> Löse das Anfangswertproblem
> [mm]y'=-y+\dfrac{1}{1+x^{2}},\;y(0)=0[/mm]
> Drücke die Lösung in der Form
> [mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}(...)\;dt[/mm] aus (...) und
> gewinne damit eine Darstellung von y(x) in der Form
> [mm][mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\sum_{0}^{\infty}}a_{k}x^{2k+1}+\mathlarger{\sum_{0}^{\infty}}b_{k}x^{2k+2}.[/mm] (...)
Die Funktion in Integralform selber habe ich schon leicht bestimmen können, allerdings komm ich bei der Reihenentwicklung nicht weiter. Das Lösungsintegral lautet: [mm]y(x)=e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\;dt[/mm].
Bei der Reihenentwicklung war mein Ansatz, erstmal den Bruch [mm]\dfrac{1}{1+t^{2}}[/mm] durch seine Reihenentwicklung zu ersetzen und dann partiell zu integrieren. Übrig bleibt ein Ausdruck mit [mm]e^{t}[/mm], den ich nicht auf die richtige Form
[mm]e^{-x}\mathlarger{\int_{0}^{x}}\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\;dt=e^{-x}\left[\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}\right)x^{2k+1}+\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+2}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\right)x^{2k+2}\right][/mm]
bekomme. Es wäre schön, wenn mir einer beispielhaft zeigen könnte, wie man dieses verflixte Integral nun in Reihe entwickelt und ggf. noch in die richtige Form bringt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://netmathematik.de/forum/index.php?page=Thread&postID=27374#post27374
Um auf diese Form zu kommen, wurde zunächst der Integrand
in eine Potenzreihe um t=0 entwickelt.
Dabei ist es günstig bekannte Reihen zu verwenden.
Hier ist es die Exponentialreihe.
Dann hast Du zwei Reihen die miteinander
multipliziert werden müssen. Das geschieht mit
Hilfe des ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produktes.
(Eine Reihe für [mm]e^{t}[/mm] und die andere für [mm]\bruch{1}{1+t^{2}}[/mm])
Das Ergebnis wird dann integriert und die Grenzen eingesetzt.
Grüße
Feuervogel
Gruss
MathePower
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OK, aber eine Frage bleibt mir noch: Bei Wikipedia ist nur eine Formel für "normale" Potenzreihen angegeben, bei der Entwicklung des Bruchs entsteht aber ein exotisches Polynom mit quadratisch aufsteigenden Gliedern. Deswegen komme ich, da ja diese "quadratische Darstellung" eine Reihe mit ausgelassenen Nullgliedern symbolisiert, dass also bei der Multiplikation der beiden Faktoren an jeder ungeraden Potenz Null rauskommt und diese Nullglieder wiederum in der neuen Formel vernachlässigt werden, auf nur den ersten Teil der Lösung.
[mm]\mathlarger{\int_{0}^{x}}\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{k-n}}{(2n)!}\right)t^{2k}\;dt=\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{k-n}}{(2n)!}\right)\mathlarger{\int_{0}^{x}}t^{2k}\;dt=\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{1}{2k+1}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{k-n}}{(2n)!}\right)\left[t^{2k+1}\right]_{0}^{x}=\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}\right)x^{2k+1}[/mm]
Was muss ich nun machen, denn diese (e.g.) Annahme scheint ja offensichtlich falsch zu sein?
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Hallo Feuervogel,
> OK, aber eine Frage bleibt mir noch: Bei Wikipedia ist nur
> eine Formel für "normale" Potenzreihen angegeben, bei der
> Entwicklung des Bruchs entsteht aber ein exotisches Polynom
> mit quadratisch aufsteigenden Gliedern. Deswegen komme ich,
> da ja diese "quadratische Darstellung" eine Reihe mit
> ausgelassenen Nullgliedern symbolisiert, dass also bei der
> Multiplikation der beiden Faktoren an jeder ungeraden
> Potenz Null rauskommt und diese Nullglieder wiederum in der
> neuen Formel vernachlässigt werden, auf nur den ersten
> Teil der Lösung.
>
> [mm]\mathlarger{\int_{0}^{x}}\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{k-n}}{(2n)!}\right)t^{2k}\;dt=\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{k-n}}{(2n)!}\right)\mathlarger{\int_{0}^{x}}t^{2k}\;dt=\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{1}{2k+1}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{k-n}}{(2n)!}\right)\left[t^{2k+1}\right]_{0}^{x}=\mathlarger{\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\left(\mathlarger{\sum_{n=0}^{k}}\dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}\right)x^{2k+1}[/mm]
>
> Was muss ich nun machen, denn diese (e.g.) Annahme scheint
> ja offensichtlich falsch zu sein?
Zunächst ist
[mm]e^{t}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}[/mm]
[mm]\bruch{1}{1+t^{2}}=\summe_{l=0}^{\infty}\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
Multiplikation der beiden Reihen ergibt:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*\summe_{l=0}^{\infty}\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
Jetzt wird diese Summe nach Potenzen von t sortiert.
Dazu wird [mm]n:=k+2*l \rightarrow k=n-2*l[/mm] gesetzt.
Damit ergibt sich:
[mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{2l \le n}\bruch{t^{n-2*l}}{\left(n-2*l\right)!}*\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
[mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{2l \le n}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(n-2*l\right)!}*t^{n}[/mm]
[mm]=\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{m}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m-2*l\right)!}*t^{2m}+\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{m}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m+1-2*l\right)!}*t^{2m+1}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Feuervogel |
> Multiplikation der beiden Reihen ergibt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*\summe_{l=0}^{\infty}\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
>
Kann ich mit vorhin genannter Formel nicht nachvollziehen und wäre falsch.
> Jetzt wird diese Summe nach Potenzen von t sortiert.
> Dazu wird [mm]n:=k+2*l \rightarrow k=n-2*l[/mm] gesetzt.
> Damit ergibt sich:
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{2l \le n}\bruch{t^{n-2*l}}{\left(n-2*l\right)!}*\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
>
[mm]2l\leq n[/mm]?
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{2l \le n}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(n-2*l\right)!}*t^{n}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{m}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m-2*l\right)!}*t^{2m}+\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=m}^{k}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m+1-2*l\right)!}*t^{2m+1}[/mm]
>
1) Gibt es hierzu mathematische Sätze/Regeln?
2) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=m}^{k}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m+1-2*l\right)!}*t^{2m+1}[/mm] sieht mir nicht wohldefiniert aus, wenn man bedenkt, dass k=n-2l ist.
Lieben Gruß und Dank
Feuervogel
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Hallo Feuervogel,
> > Multiplikation der beiden Reihen ergibt:
> >
> >
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*\summe_{l=0}^{\infty}\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
> >
>
> Kann ich mit vorhin genannter Formel nicht nachvollziehen
> und wäre falsch.
>
>
> > Jetzt wird diese Summe nach Potenzen von t sortiert.
> > Dazu wird [mm]n:=k+2*l \rightarrow k=n-2*l[/mm] gesetzt.
> > Damit ergibt sich:
> >
> > [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{2l \le n}\bruch{t^{n-2*l}}{\left(n-2*l\right)!}*\left(-1\right)^{l}*t^{2
l}[/mm]
>
> >
>
> [mm]2l\leq n[/mm]?
>
Ja, da n auch ungerade Werte annimmt.
>
> > [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{2l \le n}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(n-2*l\right)!}*t^{n}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]=\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{m}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m-2*l\right)!}*t^{2m}+\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=m}^{k}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m+1-2*l\right)!}*t^{2m+1}[/mm]
> >
>
> 1) Gibt es hierzu mathematische Sätze/Regeln?
Mir sind keine derartigen Sätze/Regeln bekannt.
> 2)
> [mm]\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=m}^{k}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m+1-2*l\right)!}*t^{2m+1}[/mm]
> sieht mir nicht wohldefiniert aus, wenn man bedenkt, dass
> k=n-2l ist.
>
Natürlich muss es hier lauten:
[mm]\summe_{m=0}^{\infty}\summe_{l=\blue{0}}^{\blue{m}}\bruch{\left(-1\right)^{l}}{\left(2*m+1-2*l\right)!}*t^{2m+1}[/mm]
>
> Lieben Gruß und Dank
>
> Feuervogel
Gruss
MathePower
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