Reihenglied a_k beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Herecome |
| Aufgabe | Es sei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] eine absolut konvergente Reihe und es sei
f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}cos(kx) [/mm] , x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(kx) dx} [/mm] , [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}. [/mm] |
Hallo Matheraum ^^
Könnte mir jemand zu dieser Aufgabe einen Tipp geben wie ich vorgehen könnte?
absolut Konvergent heisst ja nur dass Reihe mit Betragstrichen um das [mm] a_{k} [/mm] konvergiert, oder habe ich hier noch mehr Informationen drin?
Wollte es zunächst mal Probieren, das [mm] a_{k} [/mm] einzusetzen, und schauen obs stimmt, aber weit komm ich hier nicht...
f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(kx) dx})\* [/mm] cos(kx)
das [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] kann ich noch vor die summe ziehen, aber weiter komm ich nicht mehr... steh i-wie voll auf dem schlauch.
Danke schon mal für eure Tipps.
Lg
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Um das Ganze etwas zu entwirren, habe ich einige Indices umbenannt:
> Es sei [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}[/mm] eine absolut konvergente
> Reihe und es sei
> f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix)[/mm] , x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(kx) dx}[/mm]
> , [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]a_{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}.[/mm]
>
> Hallo Matheraum ^^
>
> Könnte mir jemand zu dieser Aufgabe einen Tipp geben wie
> ich vorgehen könnte?
>
> absolut Konvergent heisst ja nur dass Reihe mit
> Betragstrichen um das [mm]a_{i}[/mm] konvergiert, oder habe ich hier
> noch mehr Informationen drin?
>
> Wollte es zunächst mal Probieren, das [mm]a_{k}[/mm] einzusetzen,
> und schauen obs stimmt, aber weit komm ich hier nicht...
>
> f(x) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(ix) dx})\*[/mm]
> cos(kx)
>
> das [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] kann ich noch vor die summe ziehen, aber
> weiter komm ich nicht mehr... steh i-wie voll auf dem
> schlauch.
>
> Danke schon mal für eure Tipps.
>
> Lg
------------------------------------------------------------
Wenn [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}[/mm] eine absolut konvergente Reihe ist, dann ist natürlich erst recht
[mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix)[/mm]
eine absolut konvergente Reihe.
Das bedeutet nun, dass du das Integral, dass ja auf die gesamte Reihe angewandt wird, mit dem Summenzeichen vertauschen darfst, also
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(kx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{(\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix) )cos(kx) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{(\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix) cos(kx)) dx}=\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}\integral_{0}^{2\pi}{(cos(ix) cos(kx)) dx} [/mm] (*)
Nun berechnest du die Teile
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{(cos(ix) cos(kx)) dx}
[/mm]
und stellst fest, dass für [mm] k\not=i [/mm] Null herauskommt, für k = i aber [mm] \pi. [/mm] (Den Fall, dass k=0 ist, betrachtest du dabei noch extra, weil da 2*pi herauskommt.)
Also erhältst du in (*) für alle Summanden den Wert 0 bis auf den Summanden mit dem Index i=k, so dass (*)= [mm] a_k*\pi [/mm] wird. (k=0 dann [mm] 2*a_0*\pi).
[/mm]
Der Rest dürfte klar sein. Deine Hauptaufgabe besteht also im Berechnen von
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{(cos(ix) cos(kx)) dx}
[/mm]
für i=k, für [mm] i\not=k [/mm] und dabei dem Sonderfall k=0.
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Bei dem Ganzen handelt es sich um die sog. Fourier-Zerlegung einer periodischen Funktion in lauter Sinus-Schwingungen. Sie wurde kurz nach 1800 von Fourier erfunden, der von Napoleon den Auftrag bekam, herauszufinden, wie man das Erhitzen von Kanonenrohren verhindern kann. F. machte Berechnungen zur Wärmeausbreitung und erfand die obige Zerlegung. Sie wird u.a. benutzt, um Töne ins mp3-Format zu transformieren (man berechnet per Integral die [mm] a_k [/mm] und speichert deren Werte ab). Aus den Fourier-Reihen ergaben sich damals Überlegungen zur Konvergenz, die zu den Begriffen "absolut konvergent" führten und Cantor dazu brachten, die Mächtigkeit der Menge der Transzendenten Zahlen mit der der anderen irrationalen Zahlen zu vergleichen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Herecome |
Danke :) jetzt bin ich sogar schlauer geworden ^^ wollte schon länger wissen was es mit der fourier reihe auf sich hat :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Di 09.06.2009 | | Autor: | fred97 |
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> Um das Ganze etwas zu entwirren, habe ich einige Indices
> umbenannt:
>
>
> > Es sei [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}[/mm] eine absolut
> konvergente
> > Reihe und es sei
> > f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix)[/mm] , x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie, dass
> > [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(kx) dx}[/mm]
> > , [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > [mm]a_{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}.[/mm]
> >
>
> > Hallo Matheraum ^^
> >
> > Könnte mir jemand zu dieser Aufgabe einen Tipp geben wie
> > ich vorgehen könnte?
> >
> > absolut Konvergent heisst ja nur dass Reihe mit
> > Betragstrichen um das [mm]a_{i}[/mm] konvergiert, oder habe ich hier
> > noch mehr Informationen drin?
> >
> > Wollte es zunächst mal Probieren, das [mm]a_{k}[/mm] einzusetzen,
> > und schauen obs stimmt, aber weit komm ich hier nicht...
> >
> > f(x) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(ix) dx})\*[/mm]
> > cos(kx)
> >
> > das [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] kann ich noch vor die summe ziehen, aber
> > weiter komm ich nicht mehr... steh i-wie voll auf dem
> > schlauch.
> >
> > Danke schon mal für eure Tipps.
> >
> > Lg
> ------------------------------------------------------------
> Wenn [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}[/mm] eine absolut konvergente
> Reihe ist, dann ist natürlich erst recht
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix)[/mm]
> eine absolut
> konvergente Reihe.
>
> Das bedeutet nun, dass du das Integral, dass ja auf die
> gesamte Reihe angewandt wird, mit dem Summenzeichen
> vertauschen darfst,
Da reicht aber die absolute Konvergenz der Reihe
$ [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix) [/mm] $ nicht aus ! Was man benötigt ist die gleichmäßige Konvergenz, was hier der Fall ist
FRED
> also
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x)cos(kx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{(\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix) )cos(kx) dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}{(\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}cos(ix) cos(kx)) dx}=\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}\integral_{0}^{2\pi}{(cos(ix) cos(kx)) dx}[/mm]
> (*)
>
> Nun berechnest du die Teile
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(cos(ix) cos(kx)) dx}[/mm]
> und stellst
> fest, dass für [mm]k\not=i[/mm] Null herauskommt, für k = i aber
> [mm]\pi.[/mm] (Den Fall, dass k=0 ist, betrachtest du dabei noch
> extra, weil da 2*pi herauskommt.)
> Also erhältst du in (*) für alle Summanden den Wert 0 bis
> auf den Summanden mit dem Index i=k, so dass (*)= [mm]a_k*\pi[/mm]
> wird. (k=0 dann [mm]2*a_0*\pi).[/mm]
>
> Der Rest dürfte klar sein. Deine Hauptaufgabe besteht also
> im Berechnen von
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(cos(ix) cos(kx)) dx}[/mm]
>
> für i=k, für [mm]i\not=k[/mm] und dabei dem Sonderfall k=0.
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