Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] konvergiert und berechnen sie ihren Wert. |
Ich hab mal wieder einen Hänger :-[ ... Hab gedacht ich nehm das Quotientenkriterium aber da kommt bei mir nix sinniges raus ... beim Wurzelkriterium iwie auch nicht ... und ich bekomm auch keine alternierende oder geometrische Reihe hin. .... Für einen Anstoss wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zerwas!
Wenn Du den Term im Nenner ausmultiplizierst, siehst Du (vielleicht) ziemlich schnell, dass man hier gegen eine andere konvergente Reihe nach oben abschätzen kann (Majorantenkriterium).
Für den Reihenwert ist zunächst eine  Partialbruchzerlegung angesagt. Anschließend erhält man dann eine sogenannte "Teleskopreihe", bei der sich die meisten Summenglieder eliminieren:
[mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+1} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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