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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge aller x [mm] \in \IR, [/mm] für die die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n ((2^n+1)/n) x^n [/mm] konvergiert.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich behaupte: Die Reihe konvergiert für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit |x|<=1/2 und divergiert für |x|>1/2.
Bew: Ich weiß nicht ob ich das richtig gemacht habe, denn [mm] (-1)^n [/mm] deutet ja auch Leibnitz-Kriterium hin.
Ich habe jedoch das Quotientenkriterium auf die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} ((2^n+1)/n) x^n [/mm] angewendet und damit als Lösung 2|x| erhalten.
Und da gilt 2|x|<1 <=> |x|<1/2, habe ich darauf gefolgert, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n ((2^n+1)/n) x^n [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] mit |x|<1/2 und divergiert für |x|>1/2, auch wenn ich nicht weiß wie ich von [mm] \summe_{i=1}^{\infty} ((2^n+1)/n) x^n [/mm] auf [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n ((2^n+1)/n) x^n [/mm] schließen kann...
Mit dem Leibnitz-Kriterium erhält man dann, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n ((2^n+1)/n) x^n [/mm] für |x|=1/2 konvergiert.
Mein Problem ist also, wie ich bei der gegebenen Reihe zeige, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit |x|<1/2 sie konvergiert und divergiert für |x|>1/2.
LG
meinmathe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Di 19.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
soweit ich das sehe ist das ganze doch ne Potenzreihe. Da kann man dann den ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius der Reihe berechnen. Das ist im Wesentlichem die Anwendung des Quotientenkriteriums, nur es gilt dann [mm] $R=\lim|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$
[/mm]
Also könntne deine 1/2 schon gelten. Und da bei der Berechnung des Konvergenzkreises Beträge genommen werden, ist das -1 egal.
LG
Kroni
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Hi Kroni,
vielen Dank für deine Antwort.
Ist es denn richtig, die Fälle x=-1/2 und x=1/2 mit Leibnitz-Kriterium zu überprüfen, oder benötigit man dafür auch das Quotienten-Kriterium oder ein anderes Kriterium?
LG
meinmathe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Di 19.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und auch erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ja. Am Rand des Konvergenzkreises kann man nichts direktes aussagen, d.h. du musst dann für x=1/2 und x=-1/2 einzeln überprüfen, ob die Reihe konvergent ist oder nicht, falls du wirklch das Randverhalten wissen willst.
Für x=1/2 hast du dann in der Tat etwas alternierendes, so dass du mal versuchen kannst, Leipniz drauf loszulassen. Für x=-1/2 kannst du aber nicht mit Leipniz arbeiten, weil du dann die -1 und die -1/2 in eine Klammer ziehen kannst, und sich die - dann aufheben, so dasds du nichts alternierendes mehr hast. Dann musst du versuche eine andere Mögleichkeit zu finde, um divergenz oder Konvergenz zu zeigen, vlt. hilft da Majorantenkrit. oder Minoranten.
LG
kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Mi 20.02.2008 | | Autor: | meinmathe |
Hi Kroni,
vielen dank für deine Antworten. Ich habe die Aufgabe nocheinmal gemacht und erfolgreich gelöst 
LG
meinmathe
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