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| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}(1+\bruch{(-1)^n}{n})n^2 [/mm] |
Meine Frage dazu ist ob ich die beiden Summanden getrennt betrachten darf, also quasi
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n(-1)^n}{3^n} [/mm] auf Konvergenz untersuche und dann auf die Konvergenz der Ausgangsreihe schließen darf?
Wenn ja, würde ich das Quotientenkriterium verwenden:
Für [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n} [/mm] bekomme ich für den Betrag des Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder der zugehörigen Folge
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\bruch{(n+1)^2}{3^{n+1}}\bruch{3^n}{n^2}| [/mm] = [mm] |\bruch{n^2+2n+1}{3n^2}| [/mm] = [mm] |\bruch{n^2(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2})}{3n^2}|, [/mm] was für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 1/3 strebt.
Demnach werden die Beträge der Quotienten ab einem bestimmten n immer kleiner als z. B. 1/2 ausfallen und das Quotientenkriterium wäre erfüllt. [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n} [/mm] würde also absolut konvergieren. Für die zweite Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n(-1)^n}{3^n} [/mm] verwende ich wieder das Quotientenkriterium:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\bruch{(-1)^{n+1}(n+1)}{3^{n+1}}\bruch{3^n}{(-1)^nn}| [/mm] = [mm] |\bruch{-(n+1)}{3n}| [/mm] = [mm] |\bruch{-n(1+\bruch{1}{n})}{3n}| \to \bruch{1}{3} [/mm] für n [mm] \to \infty. [/mm] Also wäre auch die zweite Reihe absolut konvergent und die Ausgangsreihe auch? ?
Würde mich freuen wenn jemand drüberschauen kann.
Viele Grüße,
Christof
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Hallo Peter,
dein Weg ist durchaus möglich, du solltest das Pferd aber mehr von "hinten" aufzäumen.
Warum?
Du kannst eine Reihe nicht einfach so "auseinander" nehmen. Bei absolut konvergenten Reihen geht das allerdings sehr wohl, d.h. die Begründung
"Die Reihe ist als Summe zweier konvergenter Reihen wieder absolut konvergent"
ist korrekt, aber richtigerweise müsste man also erst die beiden "Teilreihen" betrachten, zeigen dass beide absolut konvergent sind und daraus schließen, dass auch die Ausgangsreihe absolut konvergent ist.
Einfacher ist hier in meinen Augen aber der "direktere" Weg über eine kleinere Abschätzung:
$0 [mm] \le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}\left(1+\bruch{(-1)^n}{n}\right)n^2 \le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}*2*n^2 [/mm] = 2* [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n}$
[/mm]
Und von dieser zu zeigen, dass sie absolut konvergiert, sollte nun kein Problem mehr sein 
Und so nebenbei: Du solltest auch den korrekten Laufindex n und nicht i verwenden
MFG,
Gono.
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Hallo Gono! Erstmal danke für die Antwort.
Also wenn ich das anschaue was du schreibst, dann würde ich zuerst die absolute Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n^2}{3^n} [/mm] mit
dem Quotientenkriterium beweisen:
Diese Reihe hat immer Glieder größer als 0, weswegen ich die Betragsstriche weglasse:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{2(n+1)^2}{3^{n+1}}\bruch{3^n}{2n^2}=\bruch{n^2+2n+1}{3n^2}=\bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{3} \to \bruch{1}{3} [/mm] für n [mm] \to \infty. [/mm] Für ein n' aus [mm] \IN [/mm] werden also die Quotienten immer kleiner als z. B. 1/2 < 1 bleiben. Also ist das Quotientenkriterium anwendbar und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n^2}{3^n} [/mm] ist absolut konvergent. Und da gilt
0 [mm] \le |\bruch{1}{3^n}(1+\bruch{(-1)^n}{n})n^2| \le \bruch{2n^2}{3^n} [/mm] für alle n aus [mm] \IN [/mm] folgt die absolute Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}(1+\bruch{(-1)^n}{n})n^2 [/mm] mit dem Majorantenkriterium?
Ist die Lösung in meinem ersten Post auch richtig? Ich habe ja beide Reihen getrennt auf absolute Konvergenz getestet und diese auch gefunden, also müßte ja auch die ursprüngliche Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}(1+\bruch{(-1)^n}{n})n^2 [/mm] absolut konvergent sein.
VG,
Christof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
ja, nachdem du gezeigt hast, dass beide Teilreihen konvergieren konvergiert natürlich uch die Summe (einfacher GWsatz für [mm] lima_n=a limb_n=b [/mm] folgt lim [mm] a_n+b_n=a+b
[/mm]
dein zweiter Beweis ist auch ok
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Okay, danke für die Antwort!
Grüße
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