Reihenkonvergenzuntersuchung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Do 17.05.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergent ohne das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\bruch{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] |
Morgen an Alle,
wie oben gefordert habe ich die Reihe auf Konvergenz untersucht (mit dem Leipnizkriterium).
Doch nun weiß ich nicht weiter.
Leipnizkriterium: Konvergiert wenn [mm] (|a_{n}|) [/mm] eine monoton fallenende Nullfolge ist.
Also:
Untersuchung auf Monotonie ergab, dass Sie eine monoton fallende Folge ist.
Aber leider ist sie keine Nullfolge, sondern konvergiert gegen 1.
Was mache ich nun, damit??
(Manche Quellen sagen, dass dann die Folge divergent ist, weil keine Nullfolge und andere sagen, dass das Leipnizkriterium nur ein hinreichendes ist und wenn es versagt, man ein anderes hinzuziehen muss - nur welches??)
Jemand ne Idee?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Do 17.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] konvergent, so ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge.
Ist Deine obige Folge [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Do 17.05.2012 | | Autor: | silfide |
Hey FRED,
Wie schon geschrieben, konvergiert die Reihe gegen 1.
Also eigentlich ist sie divergent?!
Komme glaube ich jetzt durcheinander.
Sind Reihen nur konvergent, wenn sie gegen Null streben?
Und sonst divergent, wenn sie gegen 5 oder 2 oder what ever konvergieren??
Silfide
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Hallo silfide,
> Hey FRED,
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> Wie schon geschrieben, konvergiert die Reihe gegen 1. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es konvergiert [mm]\sqrt[n]{n}[/mm] gegen 1, die gegebene Reihe ist divergent
> Also eigentlich ist sie divergent?!
Was nun? Konvergent und divergent?
>
> Komme glaube ich jetzt durcheinander.
>
> Sind Reihen nur konvergent, wenn sie gegen Null streben?
> Und sonst divergent, wenn sie gegen 5 oder 2 oder what
> ever konvergieren??
Eine Reihe kann nur dann konvergent sein (muss es aber nicht - siehe harmonische Reihe), wenn die FOLGE der Reihenglieder eine Nullfolge ist.
[mm]\sum a_n[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow a_n\to 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Mit Kontraposition ist das äquivalent zu
[mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge [mm]\Rightarrow \sum a_n[/mm] divergent.
Das ist das sog. Trivialkriterium.
Hier bei dir ist [mm]\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n}}\right)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge, damit ist die Reihe
[mm]\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n}}[/mm] divergent
>
> Silfide
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Do 17.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo silfide!
Der gute Mann, der das entsprechende Kriterium "erfunden" hat, heißt ![[]](/images/popup.gif) Leibniz (mit "b"), auch wenn er in Leipzig geboren wurde.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Do 17.05.2012 | | Autor: | silfide |
Joah, siehste ich habe beide Varianten ausprobiert, einmal Leibniz in der "Überschrift" und Leipniz im Text.
Sowas nenne ich Ansatz einer kreativen Abänderung... :-P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Joah, siehste ich habe beide Varianten ausprobiert, einmal
> Leibniz in der "Überschrift" und Leipniz im Text.
>
> Sowas nenne ich Ansatz einer kreativen Abänderung... :-P
Naja, nicht ganz.  Die Überschrift hatte ich schon geändert, damit man es auch wiederfinden kann.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Sa 26.05.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Loddar,
nun erst gelesen...und rot angelaufen...
Naja, dafür denke ich jetzt immer an den Post, wenn ich das erst frisch geschriebene Wort Leipnizkriterium in meinen Unterlagen schnell mit einem dicken b berichtige ...
Mia
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