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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Do 06.12.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Reihensumme von
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ [/mm] |
Meine Rechnung:
[mm] $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{A}{3k-2}+\frac{B}{3k+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{A(3k+1)+B(3k-2)}{(3k-2)(3k+1)}$
[/mm]
[mm] $\rightarrow [/mm] A(3k+1)+B(3k-2)=1$
$(A+B)3k+A-2B=1$
[mm] $\rightarrow [/mm] A+B=0$ und $A-2B=1$
[mm] $B=-\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $A=\frac{1}{3}$
[/mm]
Also ist:
[mm] $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}= \frac{1}{3}( \frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1})$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3} \summe_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{(3k-2)}-\frac{1}{(3k+1)})$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...)$
[/mm]
Es hebt sich in der Klammer alles auf bis auf die 1 am anfang oder?
Ganz am Ende bleibt zwar noch eine gaaanz kleine Zahl übrig aber die kann man doch vernachlässigen oder?
Dann ist
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die Reihensumme von
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}[/mm]
> Meine
> Rechnung:
> [mm]\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{A}{3k-2}+\frac{B}{3k+1}[/mm]
>
> [mm]=\frac{A(3k+1)+B(3k-2)}{(3k-2)(3k+1)}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow A(3k+1)+B(3k-2)=1[/mm]
>
> [mm](A+B)3k+A-2B=1[/mm]
>
> [mm]\rightarrow A+B=0[/mm] und [mm]A-2B=1[/mm]
>
> [mm]B=-\frac{1}{3}[/mm]
>
> [mm]A=\frac{1}{3}[/mm]
>
> Also ist:
> [mm]\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}= \frac{1}{3}( \frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1})[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3} \summe_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{(3k-2)}-\frac{1}{(3k+1)})[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...)[/mm]
>
> Es hebt sich in der Klammer alles auf bis auf die 1 am
> anfang oder?
> Ganz am Ende bleibt zwar noch eine gaaanz kleine Zahl
> übrig aber die kann man doch vernachlässigen oder?
Es handelt sich doch um einen Grenzwert !!!
> Dann ist
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}[/mm]
O.K.
FRED
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