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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:31 Mo 21.01.2008 | | Autor: | uli3 |
| Aufgabe | Die folgende Transformation vom z-Bereich in den Frequenz-Bereich mit Hilfe von [mm] z=e^{j 2 \pi f} [/mm] stimmt:
[mm] \left| \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} (1-z^{-1})^m\right|^2 [/mm] = [mm] \left|z^{-1} (1-z^{-1})^{(m -1)} \right|^{2} [/mm] (I)
[mm] \rightarrow \left( 2 \cdot \sin \left( \frac{ j \omega T }{2} \right) \right)^{2(m-1)} [/mm] (II)
Dabei wurde ein Problem erst in den z-Bereich transformiert, dort ausmultipliziert und dann in den Frequenz-Bereich transformiert.
Ich möchte allerdings das Problem schon früher im Frequenz-Bereich lösen und werde im Text noch weiteres dazu erklären (als Erweiterung zur ersten Frage).
Auf jeden Fall gehe ich davon aus, das mein obiges Problem im z-Bereich equivalent sein müsste mit (zur Vereinfachung in Laplace-Darstellung mit s=j [mm] \omega):
[/mm]
[mm] \Bigg[(1-e^{-sT})^m\Bigg]\Bigg[si(sT/2)e^{-sT/2}\Bigg]\Bigg[\frac{1}{s}\Bigg] [/mm] = [mm] (1-e^{-sT})^m\frac{sin(sT/2)}{sT/2}e^{-sT/2}\frac{1}{s} [/mm] (III)
und das ich nach der Betragsquadratbildung auf das gleiche Ergebnis wie oben in (II) gelangen sollte.
Frage #1:
lässt sich Gl. (III) zu (II) vereinfachen nach Betragsquadratbildung?
Frage #2:
ist etwas komplexer und befasst sich dann mit der Abtastproblematik in Digitaler Signalverarbeitung: was stimmt dann an Gl. (III) nicht? |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[zu Frage #1]
Also um von (III) auch auf (II) zu kommen sehe ich durch herumspielen mit den bekannten trigonometrischen Zusammenhängen der komplexen Exponentialfunktion eigentlich keine Möglichkeit.
Alleine die Potenz [mm] (.)^{2(m -1)} [/mm] scheint mir gar nicht erst möglich.
Daher gehe ich entweder davon aus, dass meine Herleitung des Problems in (III) falsch ist (siehe nachfolgend) oder ich es einfach mal wieder nicht sehe wie man die Sache doch noch so vereinfachen könnte. Wenn mir also hier wieder jemand einen guten Hinweis geben könnte, wäre ich sehr dankbar.
Alleine die Bestätigung, dass ich falsch liege (weil es nicht geht) wäre schon eine grosse Hilfe!!!
[zu Frage #2]
*** nun zu mehr Detail und zum ursächlichen Problem ***
*** quasi als Erweiterung der Aufgabenstellung ***
ich nehme gewissermassen Bezug auf einen vorherigen Post (https://matheraum.de/read?t=355017). Da ich allerdings in der Thematik weiter bin, haben sie nicht wirklich etwas gemeinsam.
Bei mir geht es nun eigentlich darum, einen diskreten Rausch-Prozess (der in der Frequenzdomäne definiert ist) in einen kontinuierlichen Prozess (in der Phasendomäne --> zusätzliche Integration notwendig) umzuwandeln, damit ich ihn in einer analogen Regelschleife als Phasenrauschterm berücksichtigen kann.
Jetzt scheint es so zu sein, dass die Berechnung kontinuierlicher Zeitfunktionen am Eingang eines Übertragungssystems mit vorgeschaltetem Halteglied als Antwort auf eine Zeitdiskrete Eingangsfolge eine schwierige Aufgabe zu sein scheint.
Daher wurde in bisherige Literatur das Problem immer erst im z-Bereich (also zu den sample-Zeiten zu denen die Eingangsfolge existiert) gelöst und abschliessend in den Frequenzbereich transformiert (wie in der aufgabenstellung beschrieben).
Nun zur Beschreibung der Strecke und den entsprechenden ÜbertragungsFunktionen (ÜF)
*Die (bereits vereinfachte) Eingangsfolge hat die Form: [mm] (1-z^{-1})^m [/mm]
und entspricht im s-Bereich der ersten eckigen Klammer in (III) und ist auch sofort in (I) zu identifizieren.
Soweit kein Problem!
Aber jetzt:
[WEG #1 - meiner]
zur Konvertierung vom diskreten ins kontinuierliche ist es aufgrund meiner Implementierung korrekt ein Sample-&-Hold anzunehmen. Um dann von Frequenzrauschen (Frequenzdomäne) in Phasenrauschen zu gelangen muss integriert werden [mm] (\frac{1}{s}). [/mm] Ich möchte das gerne im s- bzw. f-Bereich machen. Also:
* die zweiter eckige Klammer in (III) entspricht der ÜF eines Sample-&-Hold (S&H). Identisch mit einem Zero-Order-Hold (ZOH) nur dass ein zusätzlicher Term 1/T notwendig ist (Stichwort "ideale Rekonstruktion gesampelter Signale" oder "Nyquist-Shannon-Abtasttheorem").
Bei der ÜF selber bin ich mir mittlerweile ziemlich sicher. In einfachen Worten: Die Normierung 1/T ist notwendig damit die neu entstandene rechteckige Fläche identisch ist mit dem Gewicht des dirac-impulses des jeweiligen diskreten Samples.
Nur bei der Anwendung könnte ich mir noch einen Denkfehler vorstellen...?!
* Als letztes - dritte eckige Klammer in (III) - folgt die Integration mit der ÜF [mm] \frac{1}{s}
[/mm]
[WEG #2 - literatur]
Im z-Bereich kann man das Problem wie folgt lösen (und wird meist in der Literatur auch so beschrieben):
* der Integrator 1/s transformiert mit der ZOH Methode in den z-Bereich zu:
[mm] \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \cdot [/mm] T
das ist korrekt.
* Normiert man auch hier das T weg (also Multiplikation mit 1/T) dann hat man wieder ein S&H zusammen mit dem Integrator.
Stimmt genau. Das ist innerhalb der Betragsstriche von (I).
Gl. (I) ergibt mit Einsatz von [mm] z=e^{js} [/mm] auch Gl. (II).
Also ich will die Problematik eigentlich nur verstehen. Beide Wege sollten meiner Meinung identisch sein. Aber irgendwo hab ich noch ein Knoten? Ich hoffe dass das Problem sich mit Frage1 erledigen könnte ...
Bin für jede Art von Unterstützung dankbar.
LG, uli
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 Do 24.01.2008 | | Autor: | uli3 |
| Aufgabe | ich bin der Lösung glaub ich auf die Spur gekommen. Vielleicht mag sich ja jemand den nachfolgenden Gedankengang mal überlegen, ob er Sinn ergibt.
Damit wäre Frage#1 mit "nein" zu beantworten und das folgende bezieht sich dann auf Frage#2. |
Ich denke, meine Herleitung von Gleichung (III) ist nicht gültig, weil ich ja nach der Transformation in den s-Bereich und Multiplikation mit dem Halteglied (=Sample&Hold) den folgenden Zusammenhang erhalte:
[mm] \Bigg[(1-e^{-sT})^m\Bigg]\Bigg[si(sT/2)e^{-sT/2}\Bigg]
[/mm]
Der stimmt, bin ich mir sicher. Nun würde die Integration erfolgen um von Frequenz zu Phase zu gelangen.
Das ist allerdings nicht einfach mit dem Laplace'schen 1/s möglich, da es sich bei dem obigen Term mit sin(x)/x um ein uneigentliches Integral handelt!
Man würde hier nur mit Reihenzerlegung und wahrscheinlich Grenzübergangszerlegung weiter kommen.
Wenn mir hierzu jemand ein Feedback geben könnte, also ob man das so Formulieren kann, wäre ich sehr dankbar.
MfG, uli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 28.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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