Rekonstruktion einer Funktion < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Lauralie |
| Aufgabe | | Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei x=0 ein Extremum und bei x=-1 einen Sattelpunkt. Die Tangente bei x=1 hat die Gleichung y(x)=48x-48. Wie lautet die Funktionsgleichung? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich knabber irgendwie schon eine ganze Weile an dieser Aufgabe herum.
Ich bin auf folgende Ansätze gekommen:
[mm] ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e [/mm] (das ist die Funktion)
e=0, da f'(0)=0
-4a+3b-2c+d=0, da f'(-1)=0
12a-6b+2c=0, da f''(-1)=0
4a+3b+2c+d=48, da f'(1)=48
und a+b+c+d=0, da f(1)=0
Jetzt habe ich ein Gleichungssystem, das ich aus irgendeinem Grund nicht lösen kann...ich hab sowas schon ewig lange nicht mehr gemacht und bekomme das einfach nicht hin (Einsetzungs-, Additionsverfahren). Entweder da ist ein Fehler in meinen Ansätzen oder ich bin einfach zu doof...könnte mir jemand einen Tipp geben? Gibt es eine "Modelllösung" für solche Gleichungssysteme?
Vielen Dank für eure Hilfe!!
(Meine aktuelle "Lösung" ist übrigens a=-42, b=-78, c=18 und d=102 *g*)
|
|
| |
|
Hallo Lauralie,
erst einmal ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei x=0
> ein Extremum und bei x=-1 einen Sattelpunkt. Die Tangente
> bei x=1 hat die Gleichung y(x)=48x-48. Wie lautet die
> Funktionsgleichung?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also ich knabber irgendwie schon eine ganze Weile an dieser
> Aufgabe herum.
> Ich bin auf folgende Ansätze gekommen:
> [mm]ax^{4}+bx^{3}+cx²+dx+e[/mm] (das ist die Funktion) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> e=0, da f'(0)=0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch [mm] $f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$, [/mm] also [mm] $f'(0)=\red{d}=0$ [/mm] 
>
> -4a+3b-2c+d=0, da f'(-1)=0
> 12a-6b+2c=0, da f''(-1)=0
> 4a+3b+2c+d=48, da f'(1)=48
> und [mm] a+b+c+d\blue{+e}=0, [/mm] da f(1)=0 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das stimmt alles soweit, aber überall mit $d=0$ !! (siehe oben)
>
> Jetzt habe ich ein Gleichungssystem, das ich aus
> irgendeinem Grund nicht lösen kann...ich hab sowas schon
> ewig lange nicht mehr gemacht und bekomme das einfach nicht
> hin (Einsetzungs-, Additionsverfahren). Entweder da ist ein
> Fehler in meinen Ansätzen oder ich bin einfach zu
> doof...könnte mir jemand einen Tipp geben? Gibt es eine
> "Modelllösung" für solche Gleichungssysteme?
> Vielen Dank für eure Hilfe!!
Es gibt eine Vielzahl von Lösungsverfahren, nimm das, was ihr bisher hattet, Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren.
Wenn du nun mit den obigen Hinweisen die (richtigen) Gleichungen nochmal sauber untereinander aufschreibest, dann siehst du direkt, dass du zwei der Gleichungen addieren kannst und somit sofort eine Lösung für b bekommst...
> (Meine aktuelle "Lösung" ist übrigens a=-42, b=-78, c=18
> und d=102 *g*)
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Di 22.04.2008 | | Autor: | Lauralie |
Oha, ja, es ist spät....
Okay, mit d=0 komme ich jetzt auf [mm] 3x^{4}+8x³+6x²-17. [/mm] Das sieht irgendwie richtiger aus. Stimmt's?
Danke für die Hilfe.
Ich hab nächste Woche Abiprüfung in Mathe und bin momentan dabei, nochmal die ganzen Grundlagen zu wiederholen.
Drückt mir die Daumen ;D
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Oha, ja, es ist spät....
> Okay, mit d=0 komme ich jetzt auf [mm]3x^{4}+8x³+6x²-17.[/mm]
> Das sieht irgendwie richtiger aus. Stimmt's?
Ich komme da auf was anderes.
Du hast doch die 4 Gleichungen
(1) $a+b+c+e=0$
(2) $12a-9b+2c=0$
(3) $4a+3b+2c=48$
(4) $-4a+3b-2c=0$
Wenn du hier (3) zu (4) addierst, fallen a und c weg und du bekommst
(4') $6b=48$, also $b=8$
Wenn du das einsetzt, hast du schonmal was vereinfacht:
(1') $a+c+e=-8$
(2') $12a+2c=72$
(3') $4a+2c=24$
(4') $b=8$
Nun mal (3')-(2') rechnen, das gibt (3'') $......$ und damit ne Lösung für a
> Danke für die Hilfe.
> Ich hab nächste Woche Abiprüfung in Mathe und bin momentan
> dabei, nochmal die ganzen Grundlagen zu wiederholen.
> Drückt mir die Daumen ;D
Tue ich
Lg und viel Erfolg bei den Prüfungen...
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:50 Di 22.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Da hat sich ein Übertragungsfehler eingeschlichen:
> (2) [mm]12a-9b+2c=0[/mm]
[mm]12a-\red{6}b+2c=0[/mm]
Und damit komme ich auch auf Lauralies Ergebnis.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:55 Di 22.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo,
ich bin schon mathe student Anfänger, und hab deshalb glaub ich eine peinliche Frage zu deine antwort :
a+b+c+d+e=0, da f(1)=0
warum ?? , die Aussage , dass die
Tangente bei x = 1 ( y(x)=48x-48) ist
bedeutet doch nur , dass die Steigung
der gesuchten Funktion f(x) bei x=1
die teigung 48 hat , und nicht Zwingend ,
dass f(1)=0
ich glaub ich hab ein Brett vorm Kopf
gruß Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:57 Di 22.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
trotzalledem bin ich mit meiner Berechnung zu einer Funktion gekommen ,diedie kriterien erfüllt ,
hab sie geplottet und alles passte ,
lg
Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:28 Di 22.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Wenn y=48x-48 Tangente an den Grafen bei x=1 ist, dann hat sie bei x=1 aber auch den selben Funktionswert wie die Funktion :) sonst würde die Tangente den Grafen ja da nicht berühren.
Aber mach dir nichts draus ;) passiert manchmal.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
Hallo Lauralie ,
Also ich knabber irgendwie schon eine ganze Weile an dieser Aufgabe herum.
Ich bin auf folgende Ansätze gekommen:
(das ist die Funktion)
e=0, da f'(0)=0 ( richtig )
-4a+3b-2c+d=0, da f'(-1)=0 (richtig)
12a-6b+2c=0, da f''(-1)=0 (richtig)
4a+3b+2c+d=48, da f'(1)=48 (richtig)
a+b+c+d=0, da f(1)=0
warum ?? , die Aussage , dass die
Tangente bei x = 1 ( y(x)=48x-48) ist
bedeutet doch nur , dass die Steigung
der gesuchten Funktion f(x) bei x=1
die teigung 48 hat , und nicht Zwingend ,
dass f(1)=0
Die Gleichung a+b+c+d=0 kanns Du also nicht verwenden
Du brauchst aber trotzdem 4 Gleichungen bei 4 Variablen für eine eindeutige Lösung.
Und du weißt f'(0) = 0
als ist auch : d = 0
jetzt hast Du nur noch 3 Variablen und brauchst nur noch 3 Gleichungen 4Gleichungen :
1) -4a+3b-2c =0
2) 12a-6b+2c =0
3) 4a+3b+2c =48
Additionsverfahren : Gleichun 1 + Gleichung 3 bietet sich an :
-4a+3b-2c=0
4a+3b+2c=48
-----------------------
6b =48 [mm] \Rightarrow [/mm] b = 8
jetzt bleibt :
1) -4a + 24 - 2c = 0
2) 12a - 48 + 2c= 0
2 Variablen und 2 Gleicungen , schaffst Du den Rest , sonst frag nochmal
lieber Gruß
Thomas
|
|
|
|
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
