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| Aufgabe | Rekonstruiere folgende Funktion:
Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in W (1|2) eine Wendetangente mit der Steigung 2.
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Hi, ich habe die Aufgabe gelöst und sie ist so auch korrekt, bzw. wir haben diese Aufgabe in der Schule zusammen in der Klasse gelöst ;).
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
0 = ax³ + bx² + cx
0 = x(ax² + bx + c) x1 = 0
f(x) = 3ax² + 2bx + c
f(x) = 6ax + 2b
________________________________________________________
f(1) = 0
0 = 6a + 2b
f(1) = 2
2 = a + b + c
f(x) = 2
2 = 3a + 2b + c
___________________________________________________
2 = 3a + 2b + (2 a b)
2 = 2a + b 2 | + 2
4 = 2a + b
4 = 2a + (3a)
4 = 1a | : (1)
4 = a
3 ∙ (4) = b
12 = b
2 (4) 12 = c
10 = c
Ergebnis: f(x) = 4x³ + 12x² 10x
Ok, nun meine Frage bzw. Bitte:
Ich versteh soweit das man 4 Gleichungen aufstellen muss bzw. 3 weil d entfällt. Aber was mir in der Schule nicht klar wurde, wie komme ich auf diese Gleichungen, Ich versteh die Zusammenhänge nicht ganz in den Nullstellen/Extremstellen/Wendepunkte und all die anderen Sachen von einer Funktion stehen.
Mir fehlt nur jemand der mir das mal ganz klar auf deutsch umgangsasprachlich verklickern kann ohne Fachtermini, das wäre sehr nett weil anders (so wie mein Lehrer es erklärt hat) Check ichs nicht ;( .
Danke schonmal im vorraus Euer Mathe_Hannes
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> Rekonstruiere folgende Funktion:
> Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in
> W (1|2) eine Wendetangente mit der Steigung 2.
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> Hi, ich habe die Aufgabe gelöst und sie ist so auch
> korrekt, bzw. wir haben diese Aufgabe in der Schule
> zusammen in der Klasse gelöst ;).
>
> f(x) = ax³ + bx² + cx + d
> Aber was mir in der Schule nicht
> klar wurde, wie komme ich auf diese Gleichungen, Ich
> versteh die Zusammenhänge nicht ganz in den
> Nullstellen/Extremstellen/Wendepunkte und all die anderen
> Sachen von einer Funktion stehen.
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> Mir fehlt nur jemand der mir das mal ganz klar auf deutsch
> umgangsasprachlich verklickern kann ohne Fachtermini, das
> wäre sehr nett weil anders (so wie mein Lehrer es erklärt
> hat) Check ichs nicht ;( .
Also ganz ohne "Fachtermini" gehts nicht. Man kann nicht immer (auf erträgliche Weise) alles voraussetzungslos erklären. Aber ich mach' mal den Versuch, die Sache auf den Punkt zu bringen:
Zum ersten benutzen wir, dass wir den Fachterminus 'Parabel 3. Ordnung' verstehen und verwenden solches Verständnis dazu, für den gesuchten Funktionsterm den Ansatz
[mm](\star)\quad f(x) = ax^3 + bx^3 + cx + d[/mm]
zu machen. Nun wird uns gesagt, dass der Ursprung [mm](0\mid 0)[/mm] auf dem Graphen dieser Funktion liegt, also müssen seine Koordinaten die Gleichung [mm]y=f(x)[/mm] erfüllen. Dies ergibt eine erste Bestimmungsgleichung für die noch unbekannten Formvariablen [mm]a,b,c,d[/mm]:
[mm](1)\quad f(0)=0[/mm]
Zudem wird uns gesagt, dass der Punkt [mm]W(1\mid -2)[/mm] auf dem Graphen von [mm]f[/mm] liegt, also haben wir die weitere Bestimmungsgleichung:
[mm](2)\quad f(1)=-2[/mm]
Da in diesem Punkt die Steigung der Tangente (und damit der Wert der Ableitung) gleich [mm]2[/mm] ist, erhalten wir als dritte Bestimmungsgleichung:
[mm](3)\quad f'(1)=2[/mm]
Und schliesslich müssen wir wissen, dass, weil [mm]x=2[/mm] eine Wendestelle der Funktion [mm]f[/mm] ist, deren zweite Ableitung an dieser Stelle gleich 0 sein muss. Also erhalten wir als vierte und letzte Bestimmungsgleichung:
[mm](4)\quad f''(1)=0[/mm]
Dieses Gleichungssystem (1) bis (4) muss man nun nur noch mit Hilfe des Ansatzes [mm](\star)[/mm] als Gleichungen für [mm]a,b,c,d[/mm] formulieren und ... lösen.
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danke sehr, nun versteh ich immer hin schon etwas mehr ...
aber da fällt mir doch gleich noch eine Frage ein unzwar: Gibt es auch Parabeln 2ter Ordnung 1ster etc.?
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> danke sehr, nun versteh ich immer hin schon etwas mehr ...
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> aber da fällt mir doch gleich noch eine Frage ein unzwar:
> Gibt es auch Parabeln 2ter Ordnung 1ster etc.?
Ja, denn leider ist es üblich geworden, den Graphen einer Polynomfunktion [mm]n[/mm]-ten Grades als Parabel [mm]n[/mm]-ter Ordnung zu bezeichnen. Den Graphen einer Polynomfunktion [mm]1[/mm]-Grades (eine Gerade!) aufgrund einer solchermassen ausgeweiteten Definition des Begriffs "Parabel" als Parabel zu bezeichnen, empfinde ich persönlich als grotesk.
Leider: Mir behagt dies nicht (nicht nur im Falle einer "Parabel 1. Ordnung" aka. Gerade), weil ich mich in jüngeren Jahren wohl zu sehr daran gewöhnt habe, von einer Parabel nur beim Vorliegen einer Kurve zu sprechen, die unter gewissen Bedingungen beim Schnitt eines Kegels mit einer Ebene (als Schnittkurve) entsteht. Aufgrund eines solchen Standpunktes würde man den Begriff Parabel besser ausschliesslich für die Graphen von Polynomfunktionen 2. Grades verwenden.
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