Rekursion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Do 19.10.2006 | | Autor: | RedWing |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:
Rekursion einer Funktion:
geg: A= 11
Tiefpunkt = 4
Aso es soll eine Parabel sein, dann müsste sie doch dir Form [mm] ax^2+bx+c [/mm] haben?
Der Tiefpunkt müsste doch bei einer Parabel c sein, also ist c=4 oder?
Nun komme ich abre mit dem Flächeninhalt nicht weiter der A=11 sein soll. Aso die Integrationsgrenzen sind von 0 bis 1.
Ihc hoffe mir kann jdm helfen, ich wäre dafür sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Do 19.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Der Tiefpunkt ist nicht c! c ist nur der y-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der y-Achse, genau wie bei einer linearen Funktion.
Aber aus den Angaben kann man keine eindeutige Parabel angeben.
Tiefpunkt bei 4 heißt, dass bei x=4 ein Tiefpunkt vorliegt, also die 1. Ableitung an der Stelle 4 gleich 0 ist.
f'(x)=2ax+b
f'(4)=2a*4+b=0
8a+b=0
UND: Damit ein Tiefpunkt vorliegt, muss a ja positiv sein! Bei einem negativen a ist die Parabel gespiegelt und der Scheitel ist deshalb "nur" ein Hochpunkt.
Und im Intervall von 0 bis 1 soll die Parabel einen Flächeninhalt von 11 haben.
[mm] \integral_{0}^{1}{(ax²+bx+c) dx}=11
[/mm]
[mm] [\bruch{1}{3}ax³+\bruch{1}{2}bx²+cx]_0^1=11
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2}b+c=11
[/mm]
(es wird genauso gerechnet, als wenn a,b und c bekannte Zahlen wären!)
Nun bräuchtest du noch eine Bedingung. Ansonsten ist die Parabel unterbestimmt -> es gibt unendlich viele Parabeln mit diesen Eigenschaften.
Wenn du keine weiteren Bedingungen hast, dann kannst du immerhin eine Parabel mit den gegannten Eigenschaften angeben.
Du hast also die Gleichungen
(I) 8a+b=0
und
(II) [mm] \bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2}b+c=11
[/mm]
Nun könntest du (I) nach b umstellen und in (II) einsetzen und erhälst (II)'.
Danach ist (II)' noch von a und c abhängig.
(II)' stellst du nun nach a um. Dann hast du a=...irgendwas mit c.
Und dieser Term mit dem c drin soll größer als 0 sein, da a ja größer als 0 sein soll.
(Zwischenergebnis: c>11)
Also kannst du dir für c irgendeine Zahl vorgeben, die größer als 11 ist.
Damit kannst du dann auch a berechnen, indem du das c in (II)' einsetzt, und dann kannst du b berechnen, indem du a einfach in (I) einsetzt.
Ich habe z.B. für c einfach mal 33 genommen, weil es sich dann bequem rechnen lässt ;) damit erhalte ich für a=6 und b=-48.
f(x)=6x²-48x+33 wäre also eine passende Parabel.
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