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Ich habe diese schwere Aufgabe wo ich leider nicht verstehe wie ich anfangen soll oder wie ich das überhaupt machen kann ,und das mit matrix und diagonalmatrix .Währe toll wenn mir da jemand das mal zeigen könnte .
Das wird nähmlich nicht die letzte Aufgabe zu diesen Thema sein :(
Betrachten Sie die rekursiv defienierte Zahlenfolge [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] = 0, [mm] v_3 [/mm] = 1 und v_(n+1) = [mm] 2v_n [/mm] - 1v_(n-1) +2v_(n-2) für n>2
Versuchen Sie eine geschlossene Formel zu beweisen.
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Ein guter Ansatz für lineare Rekursionen ist der folgende:
[mm] f(n)=a^{n}
[/mm]
Aus [mm] f_{n+1}=2f_{n}-f_{n-1}+2f_{n-2}
[/mm]
erhält man dann
[mm] a^{n-2} (a^3-2a^2+a-2)=0
[/mm]
Da a sicher nicht 0 ist, kommt es nur auf die Lösung der kubischen Gleichung
[mm] (a^3-2a^2+a-2)=0
[/mm]
an.
Deren Lösungen sind 2, i, und -i.
Diese bilden den Lösungsraum der Rekursion. Da die Gleichung linear ist erfüllt ja jede Linearkombination dieser Werte für a die Rekursion. Die Lösung ist daher von folgender Gestalt:
[mm] f(n)=c1*2^{n}+c2*i^{n}+c3*(-i)^{n}
[/mm]
Aus f(1)=f(2)=0 und f(3)=1 bestimmt man nun noch
[mm] c1=\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] c2=\bruch{1}{5}+\bruch{1}{10}i
[/mm]
[mm] c3=\bruch{1}{5}-\bruch{1}{10}i
[/mm]
Damit ist die Rekursion aufgelöst
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hi danke viel mals aber unser lehrer meinte was von matrix und diagonal matrix , kan man dies auch anders machen ?? Oder nur in dieser form
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Mo 31.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
klar geht das auch mit diagonalisierung von matrizen.
die rekusion lässt sich folgendermaßen mit hilfe einer matrix darstellen:
[m] \pmat{v_{n+1} \\ v_n \\ v_{n-1} } = \pmat{ 2 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } \pmat{v_n \\ v_{n-1} \\ v_{n-2} } [/m],
wenn du das nicht direkt siehst rechne das einfach mal nach - also führe die matrix-vektor-multiplikation auf der rechten seite aus! nun kannst du also [mm] $v_4$ [/mm] aus [mm] $v_1, v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] berechnen mittels:
[m] \pmat{v_4 \\ v_3 \\ v_2 } = \pmat{ 2 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } \pmat{v_3 \\ v_2 \\ v_1 } [/m].
und so weiter. also erhälst du die wiederholte matrixmultiplikation aus den gegeben startwerten
[m] \pmat{v_{n+3} \\ v_{n+2} \\ v_{n+1} } = \pmat{ 2 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } ^{n}\pmat{v_3 \\ v_2 \\ v_1 } [/m].
da aber beliebige matrizen nicht so enfach zu höheren potenzen zu erhebn sind solltest du diese zuerst diagonalisieren - also matrizen $B$ und [mm] $B^{-1}$ [/mm] berechnen, so dass - wenn ich obige matrix mit $A$ bezeichne - [mm] $B^{-1}AB$ [/mm] diagonalgestalt hat (das habt ihr bestimmt gemacht, wenn ihr solch eine aufgabe gestellt krieget).
wenn du diese zur entsprechenden potenz erhebst heben sich die transformationsmatrizen gegenseitig weg, so dass [mm] $B^{-1}$ [/mm] einmal ganz links und $B$ einmal ganz rechts stehen bleiben und dazwischen steht nur noch die potenz einer diagonalmatrix (also [mm] $A^n [/mm] = B{-1}D^nB$, mit geeigneter diagonalmatrix $D$) die sich aber recht einfach berechnen lässt.
probiere das bitte einmal, wenn du nicht weiterkommst kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
ps ich wollte noch anmerken, dass der rechenaufwand des ansatzes von holy_diver_80 bedeutend geringer ist!
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Ich danke dir für deine hilfe , ich habe versucht alle schritte nach zu voll ziehen ist aber nicht sehr einfach da ich dieses Thema nicht so gut verstehe :( .
Also ich weiß ich muss es potenzieren , aber wie du selber sagst ist das nicht so einfach , kannst du mir den noch zeigen wie man das macht . Wir müssen warscheinlich noch sich solcher Aufgabe lösen ,deshalb währe es gut es mal richtig zu verstehen , aber nur wenn es nicht zu viel Aufwand ist .
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Hier stimmt etwas nicht, da die angegebene Matrix nicht über [mm] $\IR$ [/mm] diagonalisierbar ist. Und ich kann mir kaum vorstellen, dass hier mit der Jordanschen Normalform herumoperiert werden muss.
Vermutlich ist die Aufgabe schlecht (falsch) gestellt oder anders gemeint gewesen.
Viele Grüße
Stefan
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