Rekursionsformel Rationale Int < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Do 12.01.2012 | | Autor: | Benja91 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mit Hilfe der Rekursionsformel:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{(x+1)}{(x^{2}+4x+5)^{2}}dx} [/mm] |
Guten Morgen,
ich sitze gerade an der obigen Aufgabe. Leider weiss ich nicht wirklich, wie ich anfangen soll. Die Rekusionsformel kann ich ausgehen von einem Term [mm] \integral_{}^{}\bruch{1}{(t^{2}+l^{2})^{k}}dx [/mm] zwar herleiten. Aber wie bekomme ich den obigen Term in diese Form?
Ich habe folgendes gemacht:
[mm] I=\integral_{}^{}{\bruch{(x+1)}{((x+2)^{2}+1^{2})^{2}}dx}
[/mm]
Aber wie bekomme ich den Zähler weg und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Vielen Dank und Gruß
Benja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Unbestimmte_Integrale_rationaler_Funktionen
unter "Integrale, die [mm] ax^2 [/mm] + bx + c enthalten"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 15.01.2012 | | Autor: | Benja91 |
Hallo,
danke für den Tip, leider verstehe ich die Erklärung auf der Seite nicht wirklich gut.
Ich habe jetzt mein Ursprungsintegral folgendermaßen umgeformt (Substitution [mm] t=x^{2}+4x+5))
[/mm]
[mm] I=1/2*\integral_{}^{}{\bruch{dt}{t^{2}}}-\integral_{}^{}{(\bruch{1}{x^{2}+4x+5)^{2}dx}}
[/mm]
Das linke Integral ist ja ein Bassintegral und kann ja ganz normal berechnet werden. Für das rechte Integral brauch ich dann die Rekusionsformel. Ich habe es deshalb noch folgendermaßen umgeformt: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x+2)^{2}+1^{2}}}.
[/mm]
Wie funktioniert es jetzt genau mit der Rekursionsformel. Ich habe sie einfach nochmal hergeleitet und es stimmt überein mit der Version in meinem Skript. Dann habe ich einfach eingesetzt. Allerdings stimmt das Endergebnis jetzt nicht mehr.
Dann habe ich versucht die Rekusionsformel ausgehend von dem obigen Integral herzuleiten. Allerdings kommt auch hier ein eigenartiges Ergebnis heraus.
Es wäre schön, wenn mir jemand helfen und erklären könnte, wie genau ich die Rekursionsformel verwenden muss.
Vielen Dank und Gruß
Benja
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Hallo Benja91,
> Hallo,
>
> danke für den Tip, leider verstehe ich die Erklärung auf
> der Seite nicht wirklich gut.
>
> Ich habe jetzt mein Ursprungsintegral folgendermaßen
> umgeformt (Substitution [mm]t=x^{2}+4x+5))[/mm]
>
> [mm]I=1/2*\integral_{}^{}{\bruch{dt}{t^{2}}}-\integral_{}^{}{(\bruch{1}{x^{2}+4x+5)^{2}dx}}[/mm]
> Das linke Integral ist ja ein Bassintegral und kann ja
> ganz normal berechnet werden. Für das rechte Integral
> brauch ich dann die Rekusionsformel. Ich habe es deshalb
> noch folgendermaßen umgeformt:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x+2)^{2}+1^{2}}}.[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\left( \ (x+2)^{2}+1^{2} \right)^{2}}.[/mm]
> Wie funktioniert es jetzt genau mit der Rekursionsformel.
> Ich habe sie einfach nochmal hergeleitet und es stimmt
> überein mit der Version in meinem Skript. Dann habe ich
> einfach eingesetzt. Allerdings stimmt das Endergebnis jetzt
> nicht mehr.
Substituiere zunächst [mm]x=-2+\tan\left(u\right)[/mm]
> Dann habe ich versucht die Rekusionsformel ausgehend von
> dem obigen Integral herzuleiten. Allerdings kommt auch hier
> ein eigenartiges Ergebnis heraus.
>
> Es wäre schön, wenn mir jemand helfen und erklären
> könnte, wie genau ich die Rekursionsformel verwenden
> muss.
>
> Vielen Dank und Gruß
> Benja
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 17.01.2012 | | Autor: | Benja91 |
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe es schon mit einer trigonometrischen Substitution versucht, allerdings sollen wir es direkt mit der Rekursionsformel lösen...
Danke für weitere Tipps.
Gruß
Benja
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Hallo Benja91,
> Vielen Dank für die Antwort. Ich habe es schon mit einer
> trigonometrischen Substitution versucht, allerdings sollen
> wir es direkt mit der Rekursionsformel lösen...
>
Setze hier a=1, b=4, c=5 und gegebenfalls n=2
in die Rekursionsformel ein.
> Danke für weitere Tipps.
> Gruß
> Benja
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Di 17.01.2012 | | Autor: | Benja91 |
Vielen Dank für die Antwort. Aber ich weiß nicht wie ist es genau einsetzen soll. Meine Rekursionsformel habe ich folgendermaßen hergeleitet:
[mm] 2kl^{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+l^{2})^{k+1}}}=\bruch{1}{2kl^{2}}*\bruch{t}{(t^{2}+l^{2})^{k}}+\bruch{2k-1}{2kl^{2}}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+l^{2})^{k}}}
[/mm]
Wenn ich hier einfach für t=x+2 und l=1 und k=1 einsetzte kommt ein falsches Ergebnis raus. Ist es denn überhaupt die richtige Vorgehensweise, jetzt t und l einzusetzen?
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Benja
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Hallo Benja91,
> Vielen Dank für die Antwort. Aber ich weiß nicht wie ist
> es genau einsetzen soll. Meine Rekursionsformel habe ich
> folgendermaßen hergeleitet:
>
> [mm]2kl^{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+l^{2})^{k+1}}}=\bruch{1}{2kl^{2}}*\bruch{t}{(t^{2}+l^{2})^{k}}+\bruch{2k-1}{2kl^{2}}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+l^{2})^{k}}}[/mm]
>
> Wenn ich hier einfach für t=x+2 und l=1 und k=1 einsetzte
> kommt ein falsches Ergebnis raus. Ist es denn überhaupt
> die richtige Vorgehensweise, jetzt t und l einzusetzen?
>
Ja, das ist schon richtig.
Der Faktor [mm]2*k*l^{2}[/mm] auf der linken Seite ist zuviel.
Richtig muss es daher heissen:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+l^{2})^{k+1}}}=\bruch{1}{2kl^{2}}*\bruch{t}{(t^{2}+l^{2})^{k}}+\bruch{2k-1}{2kl^{2}}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t^{2}+l^{2})^{k}}}[/mm]
> Danke für eure Hilfe.
> Gruß
> Benja
Gruss
MathePower
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