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| Aufgabe | Gegeben sei folgende rekursiv definierte Folge:
[mm] a_0=7, a_1=13, a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2} [/mm]
a) Zeige: [mm] a_n=5*3^n+2(-1)^n
[/mm]
b) Überprüfe [mm] a_n [/mm] auf Konvergenz. |
Hallo, ich bin gerade in der Klausurvorbereitung und habe festgestellt, dass ich absolut keine Ahnung von rekursiv definierten Folgen habe. Wie kann ich die Gleichheit in a) zeigen? Ich habe so eine Art "Musterlösung" (von der ich aber nicht weiß wie zuverlässig die ist) in der das induktiv bewiesen wurde. Muss man das wirklich mit vollständiger Induktion machen oder kann man die Gleichheit auch anders zeigen?
Hier mal die Induktion aus der "Musterlösung":
IA (n=2): 2*13+3*7=47 (das ist doch kein Induktionsanfang oder? Ich müsste doch eigentlich noch zeigen, dass auch für die in a) def. Folge 47 herauskommt, wenn ich 2 einsetze, oder sehe ich das falsch?)
IS(n [mm] \to [/mm] n+1):
[mm] 2a_n+3a_{n-1}=2(5*3^n+2(-1)^n)+3(5*3^{n-1}+2(-1)^{n-1})
[/mm]
[mm] =(5*3^n)*2+(2(-1)^n)*3+(2(-1)^{n-1})*3
[/mm]
[mm] =(5*3^n)*2+(2(-1)^n)*2+(5*3^n)-(2(-1)^n)*3
[/mm]
[mm] =3(5*3^n)-2(-1)^n [/mm]
[mm] \Rightarrow 5*3^{n+1}+2(-1)^{n+1}
[/mm]
Zu Aufgabe b) [mm] a_n [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] für n gegen [mm] \infty, [/mm] aber das sehe ich auch nur an der Folge die in a) definiert wurde, an der rekursiv defnierten Folge erkenne ich das nicht ohne weiteres, wie würde ich denn da vorgehen um zu zeigen, dass etwas konvergiert oder nicht?
mfg
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Hallo rainman_do!
> Muss man das wirklich mit vollständiger Induktion machen oder
> kann man die Gleichheit auch anders zeigen?
Mir fällt da keine andere Variante ein ...
> Hier mal die Induktion aus der "Musterlösung":
>
> IA (n=2): 2*13+3*7=47 (das ist doch kein Induktionsanfang
> oder? Ich müsste doch eigentlich noch zeigen, dass auch für
> die in a) def. Folge 47 herauskommt, wenn ich 2 einsetze,
> oder sehe ich das falsch?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das siehst Du völlig richtig!!
> Zu Aufgabe b) [mm]a_n[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm] für n gegen [mm]\infty,[/mm]
> aber das sehe ich auch nur an der Folge die in a) definiert
> wurde, an der rekursiv defnierten Folge erkenne ich das
> nicht ohne weiteres, wie würde ich denn da vorgehen um zu
> zeigen, dass etwas konvergiert oder nicht?
An der rekursiven Darstellung kann man auch zeiogen, dass die Folge über alle Schranken wächst. Und eine unbeschränkte Folge ist automatisch divergent ...
Gruß vom
Roadrunner
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