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Rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Do 02.02.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Gegeben ist die rekursive Folge $ [mm] (an)_{n\ge0} [/mm] $ definiert durch:

$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{2}(a_n+2) [/mm]     n=0,1,2,...       [mm] a_0=1 [/mm]

a) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend ist.

b) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm] a_n [/mm] < 2 für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt

c) Zeige, dass die Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert

Hallo,

hier einmal mein Ansatz für Teil a)

IA: [mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_0+2) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] > [mm] a_0 [/mm] (Erfüllt)

IV:  [mm] a_{n+1} \ge a_n [/mm] gilt für ein n [mm] \in \IN [/mm]

IS: z.Z. [mm] a_{n+2} \ge a_{n+1} [/mm]

[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n+1}+2) \ge \bruch{1}{2}(a_n+2) [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm]

Stimmt das bis hier ?
--------------------------------
Nun bin ich mir aber unsicher, wie es genau weitergeht?

Bei einer "normalen" vollständigen Induktion habe ich keine Probleme; hier jedoch irritiert mich die Notation ein wenig.

Könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank

        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Do 02.02.2017
Autor: leduart

Hallo
wenn du mit b) anfängst , und [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] in  [mm] 1/2(a_n+2)>a_n 2-a_n/2>0 [/mm] ist es einfacher
sonst die vollständige Induktion auch über >0 machen
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Do 02.02.2017
Autor: Dom_89

Hallo leduart,

vielen Dank für die Antwort!

Laut der Lösung soll die Aufgabe mit eben $ [mm] a_{n+2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}(a_{n+1}+2) \ge \bruch{1}{2}(a_n+2) [/mm] $ = [mm] a_{n+1} [/mm] abgeschlossen sein und das ist eben, was mich so stark irritiert.

Kann das denn so sein ?



Bezug
                        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Do 02.02.2017
Autor: leduart

Hallo
du hast recht, da wir doch im letzen >= nur die vors [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] benutzt, ich hatte das übersehen.
Gruß leduart

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Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:13 Fr 03.02.2017
Autor: fred97


> Hallo leduart,
>  
> vielen Dank für die Antwort!
>  
> Laut der Lösung soll die Aufgabe mit eben [mm]a_{n+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(a_{n+1}+2) \ge \bruch{1}{2}(a_n+2)[/mm] = [mm]a_{n+1}[/mm]
> abgeschlossen sein und das ist eben, was mich so stark
> irritiert.

Ich verstehe Deine Irritation überhaupt nicht.

Es ist doch alles bestens-

>  
> Kann das denn so sein ?
>  
>  


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