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Rekursive Folge: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Fr 06.05.2005
Autor: Fabian

Hallo,

schaut euch doch bitte mal meine Musterlösung zu folgender Aufgabe an:

Man untersuche die folgende rekursiv definierte Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grentzwert.

[mm] a_{1}:=0 [/mm]
[mm] a_{n+1}:=\bruch{1}{4}(a_{n}-3) [/mm] für  [mm] n\ge1 [/mm]


Jetzt hab ich erstmal versucht , einen möglichen Grentzwert zu bestimmen ( natürlich ohne zu wissen ob er überhaupt existiert ). Dafür habe ich [mm] n\to\infty [/mm] genommen. Dann habe ich mir gedacht , wenn [mm] a_{n} [/mm] einen Limes a hat , hat natürlich [mm] a_{n+1} [/mm] denselben Grenzwert:

[mm] a=\bruch{1}{4}(a-3) [/mm] , also  a=-1

Jetzt muß ich ja nachweisen das [mm] a_{n} [/mm] überhaupt konvergiert. Das heißt ich muß nachweisen das [mm] a_{n} [/mm] vom Startwert 0 zum Grentzwert -1 geht. Um das zu beweisen , verwende ich das Kriterium "monoton fallend und nach unten beschränkt => konvergent"

Zu zeigen ist also das [mm] a_{n+1}\le a_{n} [/mm] :

[mm] a_{n+1}-a_{n}=\bruch{1}{4}(a_{n}-3)-a_{n}=-\bruch{3}{4}a_{n}-\bruch{3}{4}\le0 [/mm]

Für [mm] a_{n}\ge-1 [/mm] ist die obige Bedingung erfüllt

Beweis über vollständige Induktion:

Induktionsanfang n=1 : [mm] 1\ge-1 [/mm] [ok]

Induktionsschritt:

Vorraussetzung: es gelte [mm] a_{n}\ge-1 [/mm]

zu zeigen : [mm] a_{n+1}\ge-1 [/mm]

Also [mm] a_{n+1}+1=\bruch{1}{4}(a_{n}-3)+1=\bruch{1}{4}(a_{n}+1)\ge0 [/mm]

Bin ich hier schon fertig ?!? [kopfkratz3]

Jetzt zur Beschränktheit: Da [mm] a_{n} [/mm] monoton fällt , ist die Folge nach oben durch [mm] a_{1}=0 [/mm] und nach unten durch -1 beschränkt.

Stimmt das?

Daraus folgt insgesamt , das [mm] a_{n} [/mm] konvergent ist und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-1 [/mm]

Jetzt meine eigentliche Frage. Ist das alles soweit richtig? Oder habe ich da totalen Mißt produziert?

Vielen Dank für eure Antworten

Gruß Fabian






        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Fr 06.05.2005
Autor: Paulus

Hallo Fabian

meiner Meinung nach stimmen deine Überlegungen, und der Beweist ist so in Ordnung!

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
                
Bezug
Rekursive Folge: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:00 Fr 06.05.2005
Autor: Fabian

Hallo Paulus

Danke für die Bestätigung.

Gruß Fabian
Bezug
        
Bezug
Rekursive Folge: Alternative erlaubt?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 Fr 06.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Fabian!


Eine Bestätigung hast Du ja bereits duch Paulus erhalten.


Wäre hier denn auch ein Alternativweg zulässig (im Sinne der Aufgabenstellung) über eine explizite Darstellung der Folge [mm] $a_n$ [/mm] ?


Ich habe erhalten:

[mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1 - 4^{n-1}}{4^{n-1}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{4}\right)^{n-1} [/mm] - 1$

Diese Darstellung müsste natürlich zunächst einmal (über vollständige Induktion) nachgewiesen werden.

Aber die Grenzwertermittlung wäre dann nur noch ein Klacks ...


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Rekursive Folge: Tippfehler...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 Fr 06.05.2005
Autor: Marcel

Hallo Fabian!

> [mm]a_{1}:=0[/mm]
>  ...
> Für [mm]a_{n}\ge-1[/mm] ist die obige Bedingung erfüllt
>  
> Beweis über vollständige Induktion:
>  
> Induktionsanfang n=1 : [mm]1\ge-1[/mm] [ok]

Es war doch [mm] $a_1:=0$, [/mm] also Induktionsanfang:
$n=1$: $ [mm] a_1=\red{0} \ge [/mm] -1$ [ok]

Aber das ändert ja am Beweis nichts ;-)!

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
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