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| Aufgabe | Gegeben ist eine Relation R auf [mm] \IN [/mm] durch:
[m]aRb \Leftrightarrow ggT (a,b) = 7[/m]
Prüfen Sie diese Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Genaue Begründungen nötig, und Berücksichtigung von Aussagenlogik. |
Hallo zusammen,
gelesen: a steht genau dann in Relation zu b, wenn der ggT von a und b gleich 7 ist. Ist das korrekt?
Zuerst würde ich mir die Definition und Eigenschaften der Relation(en) anschauen:
Definition Relation
Eine Relation R zwischen den Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts [m]A X B[/m].
Eine Relation auf der Menge A ist eine Relation zwischen A und A. Statt [m](a,b) \in \IR[/m] schreibt man auch [m]aRb[/m].
Frage zur Definition: Wenn man eine Relation nur auf der Menge betrachten möchte, gilt dann: A = B und/oder A = A ?
Eigenschaften von Relationen
Sei R eine Relation auf der Menge A (also A = A, ist das korrekt?).
a) R heißt reflexiv [m]:\gdw[/m] [m]aRa[/m] (für alle [m]a \in A[/m])
b) R heißt symmetrisch [m]:\gdw[/m] [m]aRb \Rightarrow bRa[/m] (für alle [m]a,b \in A[/m])
c) R heißt asymmetrisch [m]:\gdw[/m] [m]aRb \Rightarrow \neg(bRa)[/m] (für alle [m]a,b \in A[/m])
d) R heißt transitiv [m]:\gdw[/m] [m]aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc[/m] (für alle [m]a,b,c \in A[/m])
Da ich dann mit dem ggT zu tun habe, schau ich mir die Definitionen zur Teilbarkeit und ggT an:
Definition Teilbarkeit
Eine ganze Zahl n heißt teilbar durch eine natürliche Zahl m, wenn es eine ganze Zahl q gibt, sodass [m]n = q * m[/m].
In diesem Fall heißt m ein Teiler von n und umgekehrt n ein Vielfaches von m. Man schreibt [m]m \vert n[/m] (m teilt n), falls m ein Teiler von n ist.
Definition größer gemeinsamer Teiler
a) Die natürliche Zahl g heißt gemeinsamer Teiler von a und b ,wenn g Teiler von a und von b ist.
b) Die natürliche Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) von a und b, wenn g ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, und wenn jeder gemeinsame Teiler von a und b auch ein Teiler von g ist.
So, jetzt habe ich einen Haufen von Definitionen, verstehe die Grundgedanken dahinter, aber kann es nicht anwenden?
Habt ihr ggf. einen Tipp für mich? Relationen ist ein wichtiges Thema und ich muss damit gut umgehend können...
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> Gegeben ist eine Relation R auf [mm]\IN[/mm] durch:
> [m]aRb \Leftrightarrow ggT (a,b) = 7[/m]
> Prüfen Sie diese
> Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
> Genaue Begründungen nötig, und Berücksichtigung von
> Aussagenlogik.
> Hallo zusammen,
>
> gelesen: a steht genau dann in Relation zu b, wenn der ggT
> von a und b gleich 7 ist. Ist das korrekt?
Hallo,
ja, richtig.
>
> Zuerst würde ich mir die Definition und Eigenschaften der
> Relation(en) anschauen:
>
> Definition Relation
> Eine Relation R zwischen den Mengen A und B ist eine
> Teilmenge des kartesischen Produkts [m]A X B[/m].
> Eine Relation
> auf der Menge A ist eine Relation zwischen A und A. Statt
> [m](a,b) \in \IR[/m] schreibt man auch [m]aRb[/m].
>
> Frage zur Definition: Wenn man eine Relation nur auf der
> Menge betrachten möchte, gilt dann: A = B und/oder A = A
> ?
A=A gilt immer...
Es ist dann A=B.
Du sollst in Deiner Aufgabe eine Reletion auf [mm] \IN [/mm] betrachten, also eine Teilmenge von [mm] \IN\times \IN.
[/mm]
>
> Eigenschaften von Relationen
> Sei R eine Relation auf der Menge A (also A = A, ist das
> korrekt?).
>
> a) R heißt reflexiv [m]:\gdw[/m] [m]aRa[/m] (für alle [m]a \in A[/m])
> b) R
> heißt symmetrisch [m]:\gdw[/m] [m]aRb \Rightarrow bRa[/m] (für alle [m]a,b \in A[/m])
>
> c) R heißt asymmetrisch [m]:\gdw[/m] [m]aRb \Rightarrow \neg(bRa)[/m]
> (für alle [m]a,b \in A[/m])
> d) R heißt transitiv [m]:\gdw[/m] [m]aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc[/m]
> (für alle [m]a,b,c \in A[/m])
>
> Da ich dann mit dem ggT zu tun habe, schau ich mir die
> Definitionen zur Teilbarkeit und ggT an:
>
> Definition Teilbarkeit
> Eine ganze Zahl n heißt teilbar durch eine natürliche
> Zahl m, wenn es eine ganze Zahl q gibt, sodass [m]n = q * m[/m].
>
> In diesem Fall heißt m ein Teiler von n und umgekehrt n
> ein Vielfaches von m. Man schreibt [m]m \vert n[/m] (m teilt n),
> falls m ein Teiler von n ist.
>
> Definition größer gemeinsamer Teiler
> a) Die natürliche Zahl g heißt gemeinsamer Teiler von a
> und b ,wenn g Teiler von a und von b ist.
> b) Die natürliche Zahl g heißt größter gemeinsamer
> Teiler (ggt) von a und b, wenn g ein gemeinsamer Teiler von
> a und b ist, und wenn jeder gemeinsame Teiler von a und b
> auch ein Teiler von g ist.
>
> So, jetzt habe ich einen Haufen von Definitionen, verstehe
> die Grundgedanken dahinter, aber kann es nicht anwenden?
Auf jeden Fall macht es mich ganz glücklich, daß hier mal jemand vor Beginn der Rechnerei alle Definitionen zusammengestellt hat.
> Habt ihr ggf. einen Tipp für mich? Relationen ist ein
> wichtiges Thema und ich muss damit gut umgehend können...
Beginnen wir mit der Prüfung der Reflexivität.
Eine Relation heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selber steht.
Sobald Du ein Element findest, welches nicht in Relation zu sich selber steht, ist die Relation nicht reflexiv.
Was ist denn ggT(1,1)?
Symmetrie:
seien [mm] a,b\in \IN [/mm] mit aRb. Dann ist ggT(a,b)=7, und Du mußt nun prüfen, ob auch bRa gilt.
Vielleicht kommst Du jetzt schon ein Stück weiter.
LG Angela
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Hallo Angela,
zu prüfen ist die o.g. Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transivität.
Vor.: (a,b) [mm] \in [/mm] R (oder aRb), ggT (a,b) = 7, [m]R \subseteq \IN x \IN[/m]
Zu zeigen: [m]aRb \gdw ggT \, (a,b) = 7[/m] [Prüfung auf Reflexivität, Symmetrie und Transivität]
Es gilt:
Prüfung auf Reflexivität
[m]a = 7, b = 7.[/m] Dann gilt:
[m]ggT (7,7) = |7|[/m], da : [m]7 = 7 * 1 + 0 (n = mq + r) [/m], also [m]ggT (7,7) = 7[/m]
Also ist die Relation reflexiv. Was ist aus dem b geworden? Eine Relation heißt ja reflexiv, wenn jedes Element (a?, wieso nicht auch b?) in Relation zu sich selbst steht, aber es ist doch ( (a,b) [mm] \in [/mm] R ) [mm] \wedge [/mm] R [mm] \subseteq \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ?
Prüfung auf Symmetrie
[m]a = 21, b = 3. [/m]Dann gilt:
[m]ggT (21,7) = ggT (7,21),[/m]da : [m]21 = 7 * 3 + 0 und 7 = 21 * 0 + 7 (n = mq + r)[/m]
Also ist die Relation symmetrisch?
Prüfung auf Transitivität
[m]a = 3, b = 21, c = 7[/m]
R heißt transitiv [mm] \gdw [/mm] aRb [mm] \wedge [/mm] bRc [mm] \Rightarrow[/mm] [m]aRc[/m] für alle [m]a, b, c \in \IN[/m]
Das saubere Aufschreiben bereitet große Probleme!!!
Wie setze ich jetzt die Zahlenwerte ein?
Muss ich generell Zahlenwerte einsetzen oder kann man es auch anders zeigen?
Vor allem die Schreibweise ist wichtig. Ich weiß nicht, wie ich es sauber und strukturiert aufschreiben soll? Habt ihr da Tipps für mich?
Frage zur Asymmetrie:
Wenn R reflexiv und nicht symmetrisch ist, ist sie automatisch asymmetrisch?
Also in diesem Fall: R ist symmetrisch, kann also nicht mehr asymmetrisch sein.
Rechenregeln für ggT:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fter_gemeinsamer_Teiler#Rechenregeln
Reflexivität: ggT (a,a) = |a| ?
Aus dem Kommutativgesetz folgt die Symmetrie ?
Aus dem Assoziativgesetz folgt die Transitivität ?
Danke im voraus für jede Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 09.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo Angela,
>
> zu prüfen ist die o.g. Relation auf Reflexivität,
> Symmetrie und Transivität.
>
> Vor.: (a,b) [mm]\in[/mm] R (oder aRb), ggT (a,b) = 7, [m]R \subseteq \IN x \IN[/m]
>
> Zu zeigen: [m]aRb \gdw ggT \, (a,b) = 7[/m] [Prüfung auf
> Reflexivität, Symmetrie und Transivität]
>
> Es gilt:
>
> Prüfung auf Reflexivität
> [m]a = 7, b = 7.[/m] Dann gilt:
> [m]ggT (7,7) = |7|[/m], da : [m]7 = 7 * 1 + 0 (n = mq + r) [/m], also
> [m]ggT (7,7) = 7[/m]
> Also ist die Relation reflexiv. Was ist aus
> dem b geworden? Eine Relation heißt ja reflexiv, wenn
> jedes Element (a?, wieso nicht auch b?) in Relation zu sich
> selbst steht, aber es ist doch ( (a,b) [mm]\in[/mm] R ) [mm]\wedge[/mm] R
> [mm]\subseteq \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] ?
>
> Prüfung auf Symmetrie
> [m]a = 21, b = 3. [/m]Dann gilt:
> [m]ggT (21,7) = ggT (7,21),[/m]da : [m]21 = 7 * 3 + 0 und 7 = 21 * 0 + 7 (n = mq + r)[/m]
>
> Also ist die Relation symmetrisch?
s.u.
>
> Prüfung auf Transitivität
> [m]a = 3, b = 21, c = 7[/m]
> R heißt transitiv [mm]\gdw[/mm] aRb [mm]\wedge[/mm]
> bRc [mm]\Rightarrow[/mm] [m]aRc[/m] für alle [m]a, b, c \in \IN[/m]
>
> Das saubere Aufschreiben bereitet große Probleme!!!
> Wie setze ich jetzt die Zahlenwerte ein?
> Muss ich generell Zahlenwerte einsetzen oder kann man es
> auch anders zeigen?
Nein, nichts einsetzen. Fuer die Reflexivitaet musst Du pruefen, ob alle [mm] $a\in \IN$ [/mm] zu sich selbst in Relation stehen. Du hast nur gezeigt, dass $7$ zu sich in Relation steht.
Ebenso der Symmetrie: Pruefe, ob fuer alle Paare mit [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ auch [mm] $(b,a)\in [/mm] R$ gilt ($R$ ist uebrigens symmetrisch).
Transitivitaet: Wenn der ggT von $a$ und $b$ gleich $7$ ist, und der ggT von $b$ und $c$ auch $7$ ist, ist dann notwendig auch der ggT von $a$ und $c$ ebenfalls $7$?
> Vor allem die Schreibweise ist wichtig. Ich weiß nicht,
> wie ich es sauber und strukturiert aufschreiben soll? Habt
> ihr da Tipps für mich?
>
> Frage zur Asymmetrie:
> Wenn R reflexiv und nicht symmetrisch ist, ist sie
> automatisch asymmetrisch?
> Also in diesem Fall: R ist symmetrisch, kann also nicht
> mehr asymmetrisch sein.
>
> Rechenregeln für ggT:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fter_gemeinsamer_Teiler#Rechenregeln
>
> Reflexivität: ggT (a,a) = |a| ?
> Aus dem Kommutativgesetz folgt die Symmetrie ?
> Aus dem Assoziativgesetz folgt die Transitivität ?
>
>
> Danke im voraus für jede Hilfe!
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Die Relation ist nicht reflexiv, da nicht jedes Element zu sich selbst in Relation steht, da ggT (a,a) [mm] \not= [/mm] 7
Die Relation ist symmetrisch, da [m]aRb \Rightarrow bRa[/m] für alle [m]a,b \in \IN [/m] gilt: ggT (a,b) = ggT (b,a) = 7
Zur Transitivität kann ich leider nichts sagen?
Es treten doch nur 2-Tupel auf (a,b) und nicht (a,b,c) 3-Tupel.
Gibt es bessere Ausdrucksweisen, die zeigen, dass die Relation nicht reflexiv, aber symmetrisch ist? Kann mir das jemand mit der Transitivität bitte nochmal erklären?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Di 11.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Relation ist nicht reflexiv, da nicht jedes Element zu
> sich selbst in Relation steht, da ggT (a,a) [mm]\not=[/mm] 7
>
> Die Relation ist symmetrisch, da [m]aRb \Rightarrow bRa[/m] für
> alle [m]a,b \in \IN[/m] gilt: ggT (a,b) = ggT (b,a) = 7
>
> Zur Transitivität kann ich leider nichts sagen?
> Es treten doch nur 2-Tupel auf (a,b) und nicht (a,b,c)
> 3-Tupel.
Wo treten Tripel auf ?
>
> Gibt es bessere Ausdrucksweisen, die zeigen, dass die
> Relation nicht reflexiv,
Gib doch einfach ein konkretes Beispiel an, welches zeigt, dass die Relation nicht reflexiv ist.
> aber symmetrisch ist?
Was Du oben dazu geschrieben hast war doch O.K.
> Kann mir das
> jemand mit der Transitivität bitte nochmal erklären?
Folgt aus ggT(a,b)=7 und ggT(b,c)=7 stets ggT(a,c)=7 ?
Wenn ja, so ist die Relation transitiv, anderenfalls nicht.
FRED
>
> Vielen Dank!
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Unser Prof möchte es ausführlich und mit Beispielen haben.
Denke nicht, dass es so reichen wird!
Die Relation ist nicht reflexiv, da ggT (2,2) = 2 und das ist [mm] \not= [/mm] 7
Die Relation ist symmetrisch, da es gilt: ggT (a,b) = ggT (b,a) = 7
Aber was ist, wenn ich a = 33, b = 34 setze, dann steht da ggT (33,34) bzw. ggT (34,33) und das ist doch [mm] \not= [/mm] 7.
Denke, es soll für alle Elemente gelten???
Sorry, das dritte Element (c) der Transitivität stört mich in Bezug auf den ggT, da hier nur ein 2-Tupel (a,b) gegeben ist.
Ich weiß, was Transitivität bedeutet und kann es beispielsweise auf die Relationen <, ≤ und = anwenden, aber auf das obige Beispiel leider nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Di 11.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> Unser Prof möchte es ausführlich und mit Beispielen
> haben.
> Denke nicht, dass es so reichen wird!
>
> Die Relation ist nicht reflexiv, da ggT (2,2) = 2 und das
> ist [mm]\not=[/mm] 7
>
> Die Relation ist symmetrisch, da es gilt: ggT (a,b) = ggT
> (b,a) = 7
> Aber was ist, wenn ich a = 33, b = 34 setze, dann steht da
> ggT (33,34) bzw. ggT (34,33) und das ist doch [mm]\not=[/mm] 7.
das Paar (33/34) gehört nicht zur Relation.
>
> Denke, es soll für alle Elemente gelten???
>
> Sorry, das dritte Element (c) der Transitivität stört
> mich in Bezug auf den ggT, da hier nur ein 2-Tupel (a,b)
> gegeben ist.
Wenn Du weißt, dass (a,b) zur Relation gehört,
und Du weißt, dass (b,c) zur Relation gehört,
gilt dann auch, dass (a,c) zur Relation gehört?
Wenn ja, dann ist sie transitiv.
>
> Ich weiß, was Transitivität bedeutet und kann es
> beispielsweise auf die Relationen <, ≤ und = anwenden,
> aber auf das obige Beispiel leider nicht.
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Hallo zusammen.
Die Frage ist zwar schon etwas länger her aber ich beschäftige mich gerade wieder mit dem Thema
und möchte aufgrund der längeren Abwesenheit nochmal von neu beginnen. Auch hier möchte ich systematisch vorgehen,
deswegen führe ich an dieser Stelle auch nochmal die genauen Definition auf.
Gegeben: [m]
R \subseteq \IN \times \IN $ mit $ (a,b) \in R \Leftrightarrow ggT(a,b) = 7 [/m]
Definition Teilbarkeit:
Sei [m]m \in \IN, n \in \IZ[/m], dann heißt [m]m[/m] Teiler von [m]n \Leftrightarrow \exists q \in \IZ: n = q \cdot m [/m], also [m]m|n \Leftrightarrow \exists q \in \IZ: n = q \cdot m[/m]
Definition (größter) gemeinsamer Teiler:
Sei [m]g \in \IN, a, b \in \IZ[/m].
[m]g[/m] heißt gemeinsamer Teiler von [m]a, b \Leftrightarrow g|a \wedge g|b [/m]. [m]g[/m] heißt größter gemeinsamer Teiler [m]\Leftrightarrow \forall g \in \IN: (\,(g|a) \, \wedge \, (g|b)) \, | \, g \[/m] (also wenn jeder gemeinsamer Teiler g von a,b auch Teiler von g ist) - ist das so korrekt?
Rechenregeln für ggT:
a) [m]ggT(0,0)[/m] ist nicht definiert! (vermutlich weil Teiler stets in [m]\IN[/m], also insb. [m]\not= 0[/m] sein müssen?!)
b) Ist [m]m[/m] ein Teiler von [m]n[/m], so ist [m]ggT(m,n) = m[/m], also auch [m]ggT(0,n) = ggT(n,0)[/m] für [m]n \not= 0[/m]
c) [m]ggT(ma,mb) = m \cdot ggT(a,b)[/m]
Zu zeigen:
Die obige Relation soll auf die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Asymmetrie und Transitivität überprüft werden:
[m]R[/m] heißt reflexiv [m]\Leftrightarrow \forall a \in \IN: (a,a) \in R[/m]
[m]R[/m] heißt symmetrisch [m]\Leftrightarrow \forall a,b \in \IN: (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R[/m]
[m]R[/m] heißt asymmetrisch [m]\Leftrightarrow \forall a,b \in \IN: (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \not\in R[/m]
[m]R[/m] heißt transitiv [m]\Leftrightarrow \forall a,b,c \in \IN: (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R[/m]
Reflexivität
[m] ggT(a,a) = a[/m] -> ist also gegeben!
Jedes [m]a \in \IN[/m] steht bzgl. des ggT in Relation zu sich selbst.
Symmetrie
[m]ggT(a,b) \Rightarrow ggT(b,a)[/m] -> ist also nicht gegeben!
Es gilt nicht [m]ggT(a,b) \Rightarrow ggT(b,a)[/m]
Asymmetrie
[m]ggT(a,b) \Rightarrow ggT(b,a)[/m] -> ist gegeben!
Transitivität
[m]ggT(a,b) \wedge ggT(b,c) \Rightarrow ggT(a,c)[/m] -> ist gegeben!
Was mache ich jetzt mit der '7', also ggT(a,b)=7.
Die Relationen sollen ja für alle [m]a,b,c \in \IN[/m] gelten und ist m.E. geht das nur für [m]a=b=c=7[/m]
Freue mich über Tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 08.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gummibaum,
> Hallo zusammen.
> Die Frage ist zwar schon etwas länger her aber ich
> beschäftige mich gerade wieder mit dem Thema
> und möchte aufgrund der längeren Abwesenheit nochmal von
> neu beginnen. Auch hier möchte ich systematisch vorgehen,
> deswegen führe ich an dieser Stelle auch nochmal die
> genauen Definition auf.
>
> Gegeben: [m]
> R \subseteq \IN \times \IN $ mit $ (a,b) \in R \Leftrightarrow ggT(a,b) = 7[/m]
>
> Definition Teilbarkeit:
> Sei [m]m \in \IN, n \in \IZ[/m], dann heißt [m]m[/m] Teiler von [m]n \Leftrightarrow \exists q \in \IZ: n = q \cdot m [/m],
> also [m]m|n \Leftrightarrow \exists q \in \IZ: n = q \cdot m[/m]
>
> Definition (größter) gemeinsamer Teiler:
> Sei [m]g \in \IN, a, b \in \IZ[/m].
> [m]g[/m] heißt gemeinsamer Teiler
> von [m]a, b \Leftrightarrow g|a \wedge g|b [/m]. [m]g[/m] heißt
> größter gemeinsamer Teiler [m]\Leftrightarrow \forall g \in \IN: (\,(g|a) \, \wedge \, (g|b)) \, | \, g \[/m]
> (also wenn jeder gemeinsamer Teiler g von a,b auch Teiler
> von g ist) - ist das so korrekt?
>
> Rechenregeln für ggT:
> a) [m]ggT(0,0)[/m] ist nicht definiert! (vermutlich weil Teiler
> stets in [m]\IN[/m], also insb. [m]\not= 0[/m] sein müssen?!)
> b) Ist [m]m[/m] ein Teiler von [m]n[/m], so ist [m]ggT(m,n) = m[/m], also auch
> [m]ggT(0,n) = ggT(n,0)[/m] für [m]n \not= 0[/m]
> c) [m]ggT(ma,mb) = m \cdot ggT(a,b)[/m]
>
> Zu zeigen:
> Die obige Relation soll auf die Eigenschaften
> Reflexivität, Symmetrie, Asymmetrie und Transitivität
> überprüft werden:
> [m]R[/m] heißt reflexiv [m]\Leftrightarrow \forall a \in \IN: (a,a) \in R[/m]
>
> [m]R[/m] heißt symmetrisch [m]\Leftrightarrow \forall a,b \in \IN: (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R[/m]
>
> [m]R[/m] heißt asymmetrisch [m]\Leftrightarrow \forall a,b \in \IN: (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \not\in R[/m]
>
> [m]R[/m] heißt transitiv [m]\Leftrightarrow \forall a,b,c \in \IN: (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R[/m]
>
> Reflexivität
> [m]ggT(a,a) = a[/m] -> ist also gegeben!
> Jedes [m]a \in \IN[/m] steht bzgl. des ggT in Relation zu sich
> selbst.
lies' doch bitte mal die Antworten (nochmal) durch. Wäre [mm] $R\,$ [/mm] reflexiv, so
müßte
für alle $a [mm] \in \IN$ [/mm] auch $(a,a) [mm] \in [/mm] R$ (oder anders notiert [mm] $a\;R\;a$) [/mm]
gelten. Nun gilt $(a,a) [mm] \in [/mm] R$ genau dann, wenn [mm] $\ggT(a,a)=7$ [/mm] (und $a [mm] \in \IN$) [/mm] ist. (Das folgt
per Definitionem von [mm] $R\,$!)
[/mm]
Soweit, so gut. Jetzt die Bitte an Dich (ich weiß, viele der Fragen, die kommen,
sind eigentlich schon nach der ersten überflüßig):
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(1,1) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(1,1)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(2,2) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(2,2)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(3,3) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(3,3)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(4,4) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(4,4)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(5,5) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(5,5)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(6,6) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(6,6)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(7,7) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(7,7)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(8,8) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(8,8)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(9,9) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(9,9)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(10,10) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(10,10)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(11,11) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(11,11)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(12,12) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(12,12)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(13,13) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(13,13)=7$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Gilt $(14,14) [mm] \in [/mm] R$? Also gilt [mm] $\ggT(14,14)=7$?
[/mm]
Am schönsten wäre es, wenn Du mir nun sagst: Aha, es gilt also für $a [mm] \in \IN:$
[/mm]
Genau dann ist $(a,a) [mm] \in R\,,$ [/mm] wenn [mm] $7\;|\;...$?
[/mm]
> Symmetrie
> [m]ggT(a,b) \Rightarrow ggT(b,a)[/m] -> ist also nicht gegeben!
??? Da steht überhaupt keine Aussage!
> Es gilt nicht [m]ggT(a,b) \Rightarrow ggT(b,a)[/m]
> Asymmetrie
> [m]ggT(a,b) \Rightarrow ggT(b,a)[/m] -> ist gegeben!
???
Auch hier nochmal: [mm] $R\,$ [/mm] ist symmetrisch. Das folgt eigentlich schon nur aus
der Tatsache, dass "stets" [mm] $\ggT(m,n)=\ggT(n,m)$ [/mm] (das gilt für alle $m,n [mm] \in \IN$!)
[/mm]
gilt.
Aber, weil es Dir anscheinend nicht klar ist:
Beantworte mir mal folgende Fragen:
Gilt $(3,7) [mm] \in [/mm] R$?
Gilt $(7,3) [mm] \in [/mm] R$? (Muss man hier wirklich nochmal auf ein Neues rechnen?)
Gilt $(21,7) [mm] \in [/mm] R$? Was ist mit [mm] $(7,21)\,$?
[/mm]
Gilt $(21,35) [mm] \in [/mm] R$? Was ist mit [mm] $(35,21)\,$?
[/mm]
Der eigentlich Punkt bei der Symmetrie ist: Du musst beweisen, dass, wenn
Du irgendein(!) $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ nimmst (d.h. wenn Du $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\ggT(a,b)=7$ [/mm] hernimmst!),
dass dann auch $(b,a) [mm] \in [/mm] R$ folgt.
Wenn man eine analoge Aufgabe mit $(a,b) [mm] \in R_1$ $\gdw$ $\ggT(a,b)=-1\,$ [/mm] definiert hätte,
dann wäre [mm] $R_1\,$ [/mm] durchaus symmetrisch, keineswegs aber reflexiv.
Aber zurück zu Deinem [mm] $R\,:$
[/mm]
Diese Relation ist symmetrisch. Sie kann aber auch (im Gegensatz zu [mm] $R_1$) [/mm] nicht
asymmetrisch sein, denn sonst müßte wegen
[mm] $\ggT(7,14)=7$ $\Rightarrow$ [/mm] $(7,14) [mm] \in [/mm] R$
ja $(14,7) [mm] \notin [/mm] R$ folgen. Aber es ist [mm] $\ggT(14,7)=7$ [/mm] und daher...?
> Transitivität
> [m]ggT(a,b) \wedge ggT(b,c) \Rightarrow ggT(a,c)[/m] -> ist
> gegeben!
>
> Was mache ich jetzt mit der '7', also ggT(a,b)=7.
>
> Die Relationen sollen ja für alle [m]a,b,c \in \IN[/m] gelten und
> ist m.E. geht das nur für [m]a=b=c=7[/m]
Hier blicke ich nicht mehr durch. Du hast folgendes zu zeigen: Egal, welche
Paare $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ und $(b,c) [mm] \in [/mm] R$ hergenommen werden, wenn [mm] $R\,$ [/mm] transitiv ist,
dann muss mit diesem Wissen schon $(a,c) [mm] \in [/mm] R$ gefolgert werden können.
Seien also $(a,b) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] und [mm] $\ggT(a,b)=7$ [/mm] sowie $(b,c) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] mit [mm] $\ggT(b,c)=7\,.$
[/mm]
Gilt dann auch [mm] $\ggT(a,c)=7$? [/mm] (Beachte: Es ist ja $(a,c) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] zweifellos, aber
damit $(a,c) [mm] \in [/mm] R$ folgt, brauchen wir noch den restlichen Teil, der [mm] $R\,$
[/mm]
charakterisiert: Eben die Gleichheit [mm] $\ggT(a,c)=7$ [/mm] ist unter den genannten
Voraussetzungen auf Wahrheit zu prüfen.)
P.S. Nur nochmal zur Verdeutlichung:
$R [mm] \subseteq \IN \times \IN$ [/mm] wird charakterisiert durch $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\gdw$ $\ggT(a,b)=7$
[/mm]
bedeutet nichts anderes als
[mm] $R:=\{(a,b) \in \IN \times \IN:\;\; \ggT(a,b)=7\}\,.$
[/mm]
Das heißt:
$P [mm] \in [/mm] R$
[mm] $\iff$ [/mm] $P=(a,b)$ mit $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $\ggT(a,b)=7\,.$
[/mm]
P.P.S. Zur Transitivität, falls Du das *elementar* überlegen willst:
Es gilt, dass [mm] $7\,$ [/mm] der größte gemeinsame Teiler sowohl
von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$
[/mm]
als auch
von [mm] $b\,$ [/mm] und [mm] $c\,$
[/mm]
ist.
Nun überlege Dir:
1. Folgt daraus dann auch, dass [mm] $7\,$ [/mm] ein gemeinsamer Teiler von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $c\,$ [/mm] ist?
2. Sei nun [mm] $t\,$ [/mm] ein Teiler sowohl von [mm] $a\,$ [/mm] als auch von [mm] $c\,.$ [/mm] Zu zeigen ist
nun: Dann folgt auch schon, dass [mm] $t\,|\,7$ [/mm] gilt.
Wenn Du 1. und 2. erledigt hättest, so hättest Du die Transitivität. Denn
aus 1. und 2. folgte
[mm] $\ggT(a,c)=\,$? [/mm] ???
Aber, bevor Du Dich jetzt drauf los schmeißt: Mit
[mm] $a:=14\,,$
[/mm]
[mm] $b:=21\,,$
[/mm]
[mm] $c:=28\,$
[/mm]
gilt leider...
(Nebenbei erwähnt: Gegenbeispiele kann man sich mit *Primzahlprodukten*
basteln. Das liegt daran, dass man den [mm] $\ggT$ [/mm] auch mit der Primfaktorzerlegung
charakterisieren kann. Ein allgemeines Stichwort dazu ist "Faktorieller
Ring"!)
Gruß,
Marcel
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