Relation R < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:18 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
| Aufgabe | R= {(a,b) [mm] \in \IR^2| \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= [/mm] 0}
Zeigen Sie dass, es sich bei R eine Äquivalenzrelation ist. |
Hallo Mathe-Raum-Team,
Ich denke, dass ich diese Aufgabe vom Sinn her verstanden habe.
Es gibt ja 3 Merkmale eine Relation:
Reflexiv
wenn [mm] \forall x\in \IR [/mm] gilt: xRx
Symmetrisch
wenn [mm] \forall x,y\in \IR [/mm] gilt: xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
Transitiv
wenn [mm] \forall x,y,z\in \IR [/mm] gilt: xRy UND yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz
Aber wie Beweise ich das nun und wie Verschriftliche ich dass?
Reflexiv ist ja noch ganz logisch, wenn ich ein Integrall von x nach x laufen lasse, ergibt das gleich 0 für alle [mm] x\forall x\in \IR.
[/mm]
Aber bei der Symmetrie hörts doch eigentlich schon auf, denn wenn ich x und y verschieden wähle, dann erhalte ich eine Fläche die nicht gleich 0 ist.
Oder geht es nur um die zahlen bei dem das Ergenis gleich 0 ist? Denn im den Fall wäre es Symmetrisch. Für den Fall das y = -x ist, wäre das Integral meines erachtens ebenfalls 0.
Transitiv ist das ganze dann aber nicht mehr, denn wenn x und y= -x gilt dann kann man mit z nicht wieder das negative von y bilden, weil das ja dann wieder x wäre...
Könnte mir einer aus diesen Gedanken-Salat raushelfen?
Danke
egmont
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> R= {(a,b) [mm]\in \IR^2| \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
>
> Zeigen Sie dass, es sich bei R eine Äquivalenzrelation
> ist.
> Hallo Mathe-Raum-Team,
> Ich denke, dass ich diese Aufgabe vom Sinn her verstanden
> habe.
>
> Es gibt ja 3 Merkmale eine Relation:
>
> Reflexiv
> wenn [mm]\forall x\in \IR[/mm] gilt: xRx
>
> Symmetrisch
> wenn [mm]\forall x,y\in \IR[/mm] gilt: xRy [mm]\Rightarrow[/mm] yRx
>
> Transitiv
> wenn [mm]\forall x,y,z\in \IR[/mm] gilt: xRy UND yRz [mm]\Rightarrow[/mm]
> xRz
>
>
> Aber wie Beweise ich das nun und wie Verschriftliche ich
> dass?
> Reflexiv ist ja noch ganz logisch, wenn ich ein Integrall
> von x nach x laufen lasse, ergibt das gleich 0 für alle
> [mm]x\forall x\in \IR.[/mm]
> Aber bei der Symmetrie hörts doch
> eigentlich schon auf, denn wenn ich x und y verschieden
> wähle, dann erhalte ich eine Fläche die nicht gleich 0
> ist.
> Oder geht es nur um die zahlen bei dem das Ergenis gleich
> 0 ist?
Hallo,
genau.
Unter der Voraussetzung, daß für die Grenzen a und b das Intergral =0 ist, sollst Du feststellen, ob es mit den Grenzen b und a auch 0 ist.
Und dies ist der Fall, wie Du selber bemerkst.
Als nächstes setzt Du dan voraus, daß (a,b), (b,c) [mm] \in [/mm] R.
Und unter dieser Voraussetzung schaust Du, ob dann auch das Integral mit den Grenzen a und c wieder 0 ergibt.
Gruß v. Angela
> Denn im den Fall wäre es Symmetrisch. Für den Fall
> das y = -x ist, wäre das Integral meines erachtens
> ebenfalls 0.
> Transitiv ist das ganze dann aber nicht mehr, denn wenn x
> und y= -x gilt dann kann man mit z nicht wieder das
> negative von y bilden, weil das ja dann wieder x wäre...
>
> Könnte mir einer aus diesen Gedanken-Salat raushelfen?
>
> Danke
> egmont
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
Kann ich die Lösung dann folgendermaßen schreiben
Reflexiv
wenn [mm] \forall x\in \IR[/mm] gilt: xRx
Dies ist der Fall, da ein Integral bei dennen die Grenzen gleich gewählt wurden gleich Null ergibt.
Symmetrisch
wenn [mm] \forall x,y\in \IR[/mm] gilt: xRy [mm]\Rightarrow[/mm] yRx
1. Möglichkeit y = x, siehe Begründung für Reflexiv
2. Möglichkeit y = -x, Wenn ein Integral -x nach x verläuft, dann heben sich die Fläche, -x bis 0 und 0 bis x, auf. Die Reihenfolge ist dabei unerheblich, da bei einen Integral die Strecke relevant ist und diese sich über einen Gleich großen positiven und negativen Teil erstreckt. Deswegen ist R symmetrisch.
Transitiv
wenn [mm] \forall x,y,z\in \IR[/mm] gilt: xRy UND yRz
1. Möglichkeit y = x UND z = x, siehe Begründung für Reflexiv
2. Möglichkeit y = -x UND z = -y = x, siehe Begündung für Symmetrisch
Deswegen ist R transitiv.
Da alle 3 Merkmale gelten handelt es sich hierbei um eine Äquivalenzrelation.
|
|
|
| |
|
> Kann ich die Lösung dann folgendermaßen schreiben
>
> Reflexiv
> wenn [mm]\forall x\in \IR[/mm] gilt: xRx
> Dies ist der Fall, da ein Integral bei dennen die Grenzen
> gleich gewählt wurden gleich Null ergibt.
>
> Symmetrisch
> wenn [mm]\forall x,y\in \IR[/mm] gilt: xRy [mm]\Rightarrow[/mm] yRx
> 1. Möglichkeit y = x,
Hallo,
nimm nicht x für die Grenzen. x ist hier die Integrationsvariable.
die Umstände, unter denen das Integral 0 wird, interessieren hier überhaupt nicht.
Einzig interessiert dies:
wenn es so ist, daß [mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx=0, [/mm] ist dann auch [mm] \integral_{b}^{a}f(x)dx=0?
[/mm]
Hier kannst Du Dich auf Eigenschaften des Integrals berufen. Was passiert denn mit dem Integral, wenn man die Grenzen vertauscht?
> 1. Möglichkeit y = x,siehe Begründung für Reflexiv
> 2. Möglichkeit y = -x, Wenn ein Integral -x nach x
> verläuft, dann heben sich die Fläche, -x bis 0 und 0 bis
> x, auf.
Wie gesagt: das interessiert hier sowieso keinen.
Aber: es ist auch falsch.
Klar, wenn Ober- und Untergrenze gleich sind, ist das Integral =0.
Aber für Obergrenze a und Untergrenze -a, gilt das i.a. nicht. Beispiel: [mm] f(x)=x^2 [/mm] u.v.m.
Es können Integrale mit ganz "schiefen" Grenzen 0 werden.
Und Deine Aufgabe willlediglich wissen, was passiert, wen diese Grenzen vertauscht werden.
Transitivität: analog.
Gruß v. Angela
Die Reihenfolge ist dabei unerheblich, da bei einen
> Integral die Strecke relevant ist und diese sich über
> einen Gleich großen positiven und negativen Teil
> erstreckt. Deswegen ist R symmetrisch.
>
> Transitiv
> wenn [mm]\forall x,y,z\in \IR[/mm] gilt: xRy UND yRz
> 1. Möglichkeit y = x UND z = x, siehe Begründung für
> Reflexiv
> 2. Möglichkeit y = -x UND z = -y = x, siehe Begündung
> für Symmetrisch
> Deswegen ist R transitiv.
>
> Da alle 3 Merkmale gelten handelt es sich hierbei um eine
> Äquivalenzrelation.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
okay dann vileicht so
reflexiv
Gleiche grenzen ergeben immer 0. (kurzfassung)
symmetrisch
vertauschung der Grenzen verursacht Vorzeichenwechsel, was ein Neutrales Ergebnis jedoch nicht beeinflusst. (kurzfassung)
transitiv
Die zwei Teilflächen cRd UND dRe ergeben gleich die Fläche cRe. (kurzfassung)
Deswegen Äquivalenzrelation.
|
|
|
| |
|
Hallo,
mit Deiner Kurzfassung bin ich einverstanden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mi 13.01.2010 | | Autor: | egmont |
sehr schön, herzlichen dank.
|
|
|
|
