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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Do 18.10.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Folgende Relationen sollen geprüft ob sie reflexiv, symetrisch oder transitiv sind.
1. R = {(x,y) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] | x + y = 15 }
2. R = {(x,y) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] | x und y sind Primzahlen}
3. R = {(x,y) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] | x = y oder (x,y) = (5,7)} |
Hallo zusammen, ich habe schon eine ganze Reihe von Relationen geprüft aber bei diesen dreien hänge ich fest und komme nicht weiter.
Hier ist meine Lösungsskizze zu 1.
1. R = {(x,y) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] | x + y = 15 }
reflexiv:
x [mm] \sim [/mm] x [mm] \gdw [/mm] x + x = 15
z.B.: 7,5 [mm] \notin \IN
[/mm]
Also ist R nicht reflexiv.
symetrisch:
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x + y = 15
x + y = 15 [mm] \gdw [/mm] y + x = 15
Also ist R symetrisch.
transitiv:
(hier wird es jetzt schwierig für mich)
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x + y = 15
y [mm] \sim [/mm] z [mm] \gdw [/mm] x + y = 15 [mm] \Rightarrow [/mm] y + x = 15
Im Algemeinem nicht erfüllt. Also ist R nicht transitiv
Habe ich bei der ersten Aufgabe richtig argumentiert? Insbesondere bei der Transitivität?
Bei Aufgabe zwei bleibt das obige "Schema" bestehen. Aber was bedeutet das denn z. B. im Fall der Primzahlen refliv, symetrisch und transitiv?
symetrisch: x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] y [mm] \sim [/mm] x Bei den Primzahlen könnte das so stimmen. Aber die anderen beiden Fälle?
Vielen Dank für eure Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Do 18.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo Sauri
> Folgende Relationen sollen geprüft ob sie reflexiv,
> symetrisch oder transitiv sind.
>
> 1. R =$ [mm] \{(x,y) \in \IN \times \IN | x + y = 15 \}$
[/mm]
>
> 2. R = [mm] $\{(x,y) \in \IN \times \IN | \mbox{x und y sind Primzahlen} \}$
[/mm]
>
> 3. R = [mm] $\{(x,y) \in \IN \times \IN | x = y \mbox{ oder } (x,y) = (5,7)\}$
[/mm]
> Hallo zusammen, ich habe schon eine ganze Reihe von
> Relationen geprüft aber bei diesen dreien hänge ich fest
> und komme nicht weiter.
> Hier ist meine Lösungsskizze zu 1.
> ...
reflexiv und symmetrisch sind in Ordnung.
> transitiv:
> (hier wird es jetzt schwierig für mich)
> x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x + y = 15
> y [mm]\sim[/mm] z [mm]\gdw[/mm] x + y = 15 [mm]\Rightarrow[/mm] y + x = 15
> Im Algemeinem nicht erfüllt. Also ist R nicht transitiv
Das im allgemeinen ist genau das Entscheidende. Eine Relation ist nur dann transitiv, wenn die Transitivität im allgemeinen gilt. Ein Gegenbeispiel würde genügen. [mm] $10\sim [/mm] 5$ und [mm] $5\sim [/mm] 10$ aber $10 [mm] \neg \sim [/mm] 10$
> Habe ich bei der ersten Aufgabe richtig argumentiert?
> Insbesondere bei der Transitivität?
ja, würde ich so sehen.
> Bei Aufgabe zwei bleibt das obige "Schema" bestehen. Aber
> was bedeutet das denn z. B. im Fall der Primzahlen refliv,
> symetrisch und transitiv?
> symetrisch: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] y [mm]\sim[/mm] x Bei den Primzahlen
> könnte das so stimmen. Aber die anderen beiden Fälle?
Na, wenn $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z$, dann sind $x,y,z$ Primzahlen, also auch $x [mm] \sim [/mm] z$
Damit dürfte die Reflexivität auch klar sien.
Gruß
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 18.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo, dankeschön! Das war ja einfacher als gedacht!
R = {(x,y) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] | x = y oder (x,y) = (5,7)}
Noch eine Frage zur letzten Relation:
reflexiv:
x [mm] \sim [/mm] x [mm] \gdw [/mm] x = x oder (x,x) = (5,5) ???
Ergebnis R ist reflexiv.
symetrisch:
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] (x = y oder (x,y) = (5,7)) und (y = x oder (y,x) = 5,7)
ist dieser Ausdruck denn erfüllt?
transitiv:
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x = y und y = z [mm] \Rightarrow [/mm] x = z oder (x,y) [mm] \Rightarrow [/mm] (y,z) [mm] \Rightarrow [/mm] (x,z) = (5,7)
Jetzt bin ich hier noch unsicher, sind die o.g. Audrücke symetrisch und transitiv?
Vielen Dank nochmal für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 18.10.2012 | | Autor: | pits |
Hi,
> Noch eine Frage zur letzten Relation:
> reflexiv:
> x [mm]\sim[/mm] x [mm]\gdw[/mm] x = x oder (x,x) = (5,5) ???
> Ergebnis R ist reflexiv.
>
> symetrisch:
> x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] (x = y oder (x,y) = (5,7)) und (y = x oder
> (y,x) = 5,7)
> ist dieser Ausdruck denn erfüllt?
Um so was zu zeigen ist es hilfreich, zuerst mal eine Vorstellung davon zu bekommen. Zwei Werte x und y stehen in Relation zueinander, wenn sie gleich sind oder 5 steht in Relation zu 7. Die Sache mit der Symmetrie ist auf jeden Fall gegeben, wenn x=y ist, kann also nur bei x=5 und y=7 schief gehen und da ist es ja auch so, denn $5 [mm] \sim [/mm] 7 aber 7 [mm] \neg \sim [/mm] 5$ also keine Symmetrie.
> transitiv:
> x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x = y und y = z [mm]\Rightarrow[/mm] x = z oder
> (x,y) [mm]\Rightarrow[/mm] (y,z) [mm]\Rightarrow[/mm] (x,z) = (5,7)
>
> Jetzt bin ich hier noch unsicher, sind die o.g. Audrücke
> symetrisch und transitiv?
Der Fall transitiv ist unproblematisch, solange die Beziehungen immer auf der Gleichheit beruhen, denn wenn x=y=z, dann ist [mm] $x\sim [/mm] z$. Nur wenn eine der beiden Beziehungen die $5 [mm] \sim [/mm] 7$ ist könnte es schwierig werden. Dafür gibt es aber nur 2 Fälle: x=5, y=5, z=7 oder x=5,y=7,z=7 und in beiden sieht man, dass $x [mm] \sim [/mm] z$. Also ist die Relation transitiv.
Gruß
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo, ich bin erst jetzt wieder online - sonst hätte ich mich früher gemeldet! Vielen Dank für deine Antwort!
Was bedeutet denn bei dieser Relation "reflexiv". Reflexiv bedeutet ja, dass
[mm] \forall [/mm] x: x [mm] \sim [/mm] x . Im konkreten fall hieße das dann:
x = x oder (x,x) = (5,7) ? Die Gleichheit ist hier erfüllt. Aber (x,x) = (5,7)
geht glaube ich nicht. x kann nur einen Wert annehmen? Und deswegen nicht: 5 [mm] \sim [/mm] 7 sein? x könnte z. b.: 5 [mm] \sim [/mm] 5 sein.
Zusammengefasst ist die Relation also nicht reflexiv - kann man das so sagen?
Tausend Dank und viele Grüße!!!
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> Was bedeutet denn bei dieser Relation "reflexiv". Reflexiv
> bedeutet ja, dass
> [mm]\forall[/mm] x: x [mm]\sim[/mm] x .
Hallo,
genau.
Dh. für jedes beliebige x der zugrundeliegenden Menge muß das Paar (x,x) in der Relation enthalten sein.
Schreib mal (aufzählend) auf, welche Elemente in Deiner Relation enthalten sind, und entscheide dann, ob obiges gilt.
LG Angela
> Im konkreten fall hieße das dann:
>
> x = x oder (x,x) = (5,7) ? Die Gleichheit ist hier
> erfüllt. Aber (x,x) = (5,7)
> geht glaube ich nicht. x kann nur einen Wert annehmen?
> Und deswegen nicht: 5 [mm]\sim[/mm] 7 sein? x könnte z. b.: 5 [mm]\sim[/mm]
> 5 sein.
>
> Zusammengefasst ist die Relation also nicht reflexiv -
> kann man das so sagen?
>
> Tausend Dank und viele Grüße!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Also in dieser in dieser Relation sind alle Zahlen für die gilt x = y oder (x,y) = (5,7)
1 [mm] \sim [/mm] 1 ist drinn 2 [mm] \sim [/mm] 2 ist drinn... 5 [mm] \sim [/mm] 7 ist drinn.
Nicht aber z. b. 7 [mm] \sim [/mm] 5.
Habe ich das richtig verstanden?
für die Reflexivität muss gelten das die Aussage für alle x [mm] \sim [/mm] x gilt.
Aber gillt das denn jetzt? Die Gleichheit ist immer erfüllt?
5 [mm] \sim [/mm] 5 z.b 1 [mm] \sim [/mm] 1, die Gleicheit ist ja immer erfüllt wenn x = x ist.
Also die Gleichheit ist reflexiv nicht aber "(x,y) = (5,7)" Ergo auch nicht für alle x.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also in dieser in dieser Relation sind alle Zahlen für die
> gilt x = y oder (x,y) = (5,7)
>
> 1 [mm]\sim[/mm] 1 ist drinn 2 [mm]\sim[/mm] 2 ist drinn... 5 [mm]\sim[/mm] 7 ist
> drinn.
>
> Nicht aber z. b. 7 [mm]\sim[/mm] 5.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (1,1),(2,2),...,(5,7) sind in der Relation R (mit anderen Worten: [mm] $1\sim1$, $2\sim2$,...,$5\sim7$ [/mm] gelten) und das sind alle Elemente. Also:
[mm] $R=\{(5,7),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),...\}$
[/mm]
> für die Reflexivität muss gelten das die Aussage für
> alle x [mm]\sim[/mm] x gilt.
Die Aussage [mm] $x\sim [/mm] x$ muss für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] gelten.
> Aber gillt das denn jetzt? Die Gleichheit ist immer
> erfüllt?
>
> 5 [mm]\sim[/mm] 5 z.b 1 [mm]\sim[/mm] 1, die Gleicheit ist ja immer erfüllt
> wenn x = x ist.
>
> Also die Gleichheit ist reflexiv nicht aber "(x,y) = (5,7)"
> Ergo auch nicht für alle x.
Die Relation
[mm] $R_1:=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;x=y\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),...\}$
[/mm]
wäre in der Tat reflexiv (denn für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $(x,x)\in R_1$), [/mm] die Relation
[mm] $R_2:=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;(x,y)=(5,7)\}=\{(5,7)\}$
[/mm]
dagegen nicht (da z.B. [mm] $(4,4)\not\in R_2$ [/mm] und damit nicht für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $(x,x)\in R_2$).
[/mm]
Aber zurück zu unserer Relation
[mm] $R=\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;x=y\text{ oder }(x,y)=(5,7)\}=\{(5,7),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),...\}$.
[/mm]
Um zu beweisen, dass sie reflexiv ist, müsstest du beweisen bzw. dir klarmachen, dass [mm] $(x,x)\in [/mm] R$ für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt, also
[mm] $(1,1)\in [/mm] R$,
[mm] $(2,2)\in [/mm] R$,
[mm] $(3,3)\in [/mm] R$,
[mm] $(4,4)\in [/mm] R$,
[mm] $(5,5)\in [/mm] R$,
[mm] $(6,6)\in [/mm] R$,
[mm] $(7,7)\in [/mm] R$,
[mm] $(8,8)\in [/mm] R$,
usw.
Um zu widerlegen, dass die Relation R reflexiv ist, müsstest du eine konkrete Zahl [mm] $x\in\IN$ [/mm] nennen, für die [mm] $(x,x)\not\in [/mm] R$ gilt. (Damit wäre also [mm] $(x,x)\in [/mm] R$ nicht für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] erfüllt.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:44 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> R = $\{$(x,y) [mm]\in \IN \times \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x = y oder (x,y) = (5,7)$\}$
>
> reflexiv:
> x [mm]\sim[/mm] x [mm]\gdw[/mm] x = x oder (x,x) = (5,5) ???
> Ergebnis R ist reflexiv.
Wo kommt die (5,5) auf einmal her?
Ich schlage folgende Vorübung vor:
Welche der folgenden Aussagen stimmt für die obige Relation?
a) [mm] $25\sim [/mm] 17$
b) [mm] $27\sim [/mm] 27$
c) [mm] $5\sim [/mm] 5$
d) [mm] $7\sim [/mm] 5$
e) [mm] $5\sim [/mm] 7$
f) [mm] $5\sim [/mm] 6$
Danach (!) kannst du noch einmal überlegen, ob FÜR ALLE [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $x\sim [/mm] x$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo auch dir vielen Dank für die Hilfe.
also b) und c) würde ich sagen. Unf für alle x [mm] \sim [/mm] x gillt nicht (x,x) = (5,7) ?
Eben deshalb ist dann auch die Relation nicht reflexiv.
Viele Grüße und nochmals vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> also b) und c) würde ich sagen.
Fast! e) gilt auch, denn
[mm] $5\sim7$
[/mm]
ist eine Schreibweise für
[mm] $(5,7)\in\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;x=y\text{ oder }(x,y)=(5,7)\}$,
[/mm]
was nichts anderes heißt als
5=7 oder (5,7)=(5,7).
Letzteres ist wahr, denn
(5,7)=(5,7)
ist wahr.
Mein Eindruck ist, dir ist die Bedeutung der Menge [mm] $\{(x,y)\in\IN\times\IN\;|\;x=y\text{ oder }(x,y)=(5,7)\}$ [/mm] noch nicht klar.
Daher solltest du Angelas Tipp befolgen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:31 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sauri,
> Bei Aufgabe zwei bleibt das obige "Schema" bestehen.
Diese Aufgaben nach einem Schema lösen zu wollen, halte ich für schwer möglich und gefährlich. Du wirst nicht umhin kommen, die Bedeutungen der angegebenen Mengen und der Begriffe reflexiv, symmetrisch und transitiv zu verstehen. Und dann lösen sich solche Aufgaben ohne langwieriges auswendig lernen von Schritten fast von selbst.
> Aber
> was bedeutet das denn z. B. im Fall der Primzahlen refliv,
> symetrisch und transitiv?
> symetrisch: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] y [mm]\sim[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x
In deinen Aufzeichnungen wirst du eine präzisere Definition finden, z.B. so:
Eine Relation auf einer Menge M heißt symmetrisch, wenn FÜR ALLE $x,y\in M$ gilt: $x\sim y$ gilt genau dann, wenn $y\sim x$ gilt.
Ohne das "für alle $x,y\in M$" hast du keine Chance, die Definition zu verstehen.
Bleibt noch zu klären, was $x\sim y$ eigentlich bedeutet. Es ist eine Schreibweise für $(x,y)\in R$.
In deinen Beispielen liegen Relationen auf der Menge $M=\IN$ vor.
> 1. R = $\{$(x,y) [mm]\in \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x + y = 15 $\}$
>
> reflexiv:
> x [mm]\sim[/mm] x [mm]\gdw[/mm] x + x = 15
> z.B.: 7,5 [mm]\notin \IN[/mm]
> Also ist R nicht reflexiv.
Das Ergebnis stimmt, die Argumentation nicht ganz.
Du kommst nicht umhin, dir klarzumachen, was Reflexivität der Relation bedeutet:
FÜR ALLE [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $x\sim [/mm] x$.
Die Relation ist NICHT reflexiv, genau dann wenn gilt:
NICHT FÜR ALLE [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $x\sim [/mm] x$.
Mit anderen Worten:
ES GIBT MINDESTENS EIN [mm] $x\in\IN$, [/mm] für das [mm] $x\sim [/mm] x$ NICHT gilt.
Das möchtest du nun zeigen.
Wie zeigt man typischerweise, dass es mindestens ein Objekt mit einer gewissen Eigenschaft gibt? Man gibt dazu ein Beispiel für ein solches Objekt an.
Hier ist also eine natürliche Zahl [mm] $x\in\IN$ [/mm] gesucht, für die NICHT [mm] $x\sim [/mm] x$ gilt, d.h. für die nicht $x+x=15$ gilt. (Du kannst bei der Suche in diesem Fall nicht viel falsch machen. $x+x=15$ wird von keiner natürlichen Zahl erfüllt. Nimm also als Beispiel willkürlich z.B. $x=4$.)
Viele Grüße
Tobias
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