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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Relativer Fehler eines LGS
Relativer Fehler eines LGS < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Relativer Fehler eines LGS: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:15 So 02.12.2018
Autor: Belserich

Aufgabe
Berechnen Sie auf der Basis der Frobeniusnorm die Kondition der Matrix:

[mm] \begin{pmatrix} t & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]

für die Parameterwerte $t [mm] \in \left \{ 1.0001, 2, 100 \right \}$. [/mm] Geben Sie für jedes $t$ eine obere Schranke für den maximalen relativen Fehler des Gleichungssystems

[mm] \begin{pmatrix} t & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix} [/mm]

an, wenn die Komponenten der rechten Seite einem absoluten Fehler von $0.01$ unterliegen können.

Die Kondition der Matrix habe ich bereits mit der Formel

[mm] cond(M)=\left \|M \right \| \cdot \left \|M^{-1} \right \|, [/mm] hier speziell: [mm] cond_F(M)=\left \|M \right \|_F \cdot \left \|M^{-1} \right \|_F [/mm]

berechnet.

Ich bin auf folgende Werte gekommen:

(1) [mm] $cond_F(M)\approx [/mm] 40002.000025 [mm] \quad$ [/mm] für $t=1.0001$
(2) [mm] $cond_F(M)=7 \quad$ [/mm] für $t=2$
(3) [mm] $cond_F(M)=101,\overline{04} \quad$ [/mm] für $t=100$

Für den zweiten Teil möchte ich die folgende Gleichung aus der Vorlesung für den relativen Fehler der Lösung eines LGS verwenden:

[mm] $\frac{\left \| (x + \Delta x) - x \right \|}{\left \| x\right \|} [/mm] = [mm] \frac{\left \| \Delta x \right \|}{\left \| x\right \|} \leq [/mm] cond(M) [mm] \cdot \frac{\left \| \Delta b \right \|}{\left \| b \right \|}$ [/mm]

[mm] $\frac{\left \| \Delta x \right \|}{\left \| x\right \|}$ [/mm] ist hier der relative Fehler, [mm] $\Delta [/mm] b$ ist der absolute Fehler und $b$ der Ergebnisvektor. Nun will ich den relativen Fehler des Ergebnisses [mm] $\frac{\left \| \Delta b \right \|}{\left \| b \right \|}$ [/mm] berechnen. Dafür muss ich aber die Norm des Ergebnisvektors bilden, genau so für die Kondition der Matrix. Meine Frage lautet nun: Welche Norm wähle ich dafür? Die Frobeniusnorm würde sich anbieten, da ich hier schon die Kondition der einzelnen Werte kenne, ich habe jedoch noch im Hinterkopf, dass die Frobeniusnorm keine induzierte Matrixnorm ist und irgendwie werde ich den Gedanken nicht los, dass ich sie deshalb hier keine Gültigkeit besitzt, ist das so? Eine weitere Idee wäre, die Norm mit den kleinsten Beträgen zu wählen, sodass die obige Gleichung Gültigkeit für jede beliebige p-Norm behält und man somit trotzdem den maximalen relativen Fehler für mindestens eine Norm bestimmt hat, das kommt mir aber auch eher falsch vor. Kann mir jemand mit meinen Fragen weiterhelfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Vielen Dank im Vorraus.

        
Bezug
Relativer Fehler eines LGS: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Do 06.12.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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