Relativer Fehler, rekursiv < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:03 Di 26.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo, ich habe bei der der Herleitung des relativen Fehlers ein Problem (vielleicht ist es auch nur ein Beispiel)
[mm] f_n: a_n =\sqrt{x}(1+f_n), f_n>0
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n+1}=0.5(a_n+\br{x}{a_n})
[/mm]
= [mm] 0.5(\sqrt{x}(1+f_n +\br{x}{\sqrt{x}(1+f_n) }) [/mm] = [mm] \br{\sqrt{x}}{2}(1+f_n+\br{1}{f_n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1+f_n) [/mm] = [mm] \br{1}{2}(1+f_n+\br{1}{f_n})
[/mm]
Was ist hier passiert, wieso fällt das Wurzel x weg und wieso steht auf der linken Seite nur [mm] 1+f_n? [/mm] Also, wie kommt man darauf, dass [mm] 1+f_n [/mm] nun gleich der Term rechts ist?
[mm] \Rightarrow f_{n+1}=0.5(f_n-1+\br{1}{1+f_n})=0.5\br{(f_n-1)(f_n+1)+1}{1+f_n} [/mm] = 0.5 [mm] \br{f^2n}{1+f_n}
[/mm]
Wie errechne ich [mm] f_{n+1}? [/mm] Mir ist überhaupt nicht klar, wie ich auf die rechte Seite komme.
Kann mir das jemand erklären?
Wäre sehr lieb
Grüße
Phoney
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> Hallo, ich habe bei der der Herleitung des relativen
> Fehlers ein Problem (vielleicht ist es auch nur ein
> Beispiel)
>
> [mm]f_n: a_n =\sqrt{x}(1+f_n), f_n>0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{n+1}=0.5(a_n+\br{x}{a_n})[/mm]
Hallo,
mir scheint, Du verschweigst wesentliche Informationen über [mm] f_n, a_n [/mm] und x.
Ohne diese ist schon dieser erste Schritt überhaupt nicht nachvollziehbar.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
> mir scheint, Du verschweigst wesentliche Informationen über
> [mm]f_n, a_n[/mm] und x.
> Ohne diese ist schon dieser erste Schritt überhaupt nicht
> nachvollziehbar.
Erst einmal Danke dafür, dass du dir die Aufgabe dann auch überhaupt angeguckt und es nicht gleich wieder weggeglickt hast.
Also ursprünglich lautete die Aufgabe:
Sei x>0 und [mm] (a_n)_{n\ge 1} [/mm] rekursiv definiert:
[mm] $a_1 [/mm] > [mm] \wurzel{x} [/mm] beliebig, [mm] a_{n+1}=\br{1}{2}(a_n+\br{x}{a_n})$
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] $a_n [/mm] > [mm] \sqrt{x} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] \lim_{n \rightarrow \infty}a_n [/mm] = [mm] \sqrt{x}$
[/mm]
Und daraus haben wir folgendes (Kopie aus dem Fragethread) abgeleitet (weitere Informationen habe ich leider auch nicht)
[mm] $f_n: a_n =\sqrt{x}(1+f_n), f_n>0 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow a_{n+1}=0.5(a_n+\br{x}{a_n}) [/mm] $
$= [mm] 0.5(\sqrt{x}(1+f_n +\br{x}{\sqrt{x}(1+f_n) }) [/mm] = [mm] \br{\sqrt{x}}{2}(1+f_n+\br{1}{f_n}) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow (1+f_n) [/mm] = [mm] \br{1}{2}(1+f_n+\br{1}{f_n}) [/mm] $
Was ist hier passiert, wieso fällt das Wurzel x weg und wieso steht auf der linken Seite nur [mm] 1+f_n? [/mm] Also, wie kommt man darauf, dass [mm] 1+f_n [/mm] nun gleich der Term rechts ist?
[mm] $\Rightarrow f_{n+1}=0.5(f_n-1+\br{1}{1+f_n})=0.5\br{(f_n-1)(f_n+1)+1}{1+f_n} [/mm] = 0.5 [mm] \br{f^2n}{1+f_n} [/mm] $
Wie wurde hier [mm] f_{n+1} [/mm] errechnet / wie kommt man da auf die rechte Seite?
Viele Grüße und guten Rutsch
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Fr 29.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
Ich denke du hast 2 Fehler in deinem mitschrieb.
1. zum Verständnis. fn ist der rel. Fehler der nten näherung. d.h. da nach Vors bekannt ist [mm] an>\wurzel{x} [/mm] gilt:
[mm] a_n=\wurzel{x}(1+fn)
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{x}(1+f_{n+1})
[/mm]
> [mm]f_n: a_n =\sqrt{x}(1+f_n), f_n>0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{n+1}=0.5(a_n+\br{x}{a_n})[/mm]
>
> [mm]= 0.5(\sqrt{x}(1+f_n +\br{x}{\sqrt{x}(1+f_n) }) = \br{\sqrt{x}}{2}(1+f_n+\br{1}{f_n})[/mm]
hier muss dein erster Fehler liegen! sonst stimmt die Gleichheit nicht!
richtig wäre:
[mm]= 0.5(\sqrt{x}(1+f_n +\br{x}{\sqrt{x}(1+f_n) }) = \br{\sqrt{x}}{2}(1+f_n+\br{1}{1+f_n})[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow (1+f_n) = \br{1}{2}(1+f_n+\br{1}{1+f_n})[/mm]
hier liegt dein 2 ter Schreibfehler, links steht [mm] 1+f_{n+1} [/mm] und NICHT [mm] 1+f_n [/mm] und das wegen
[mm] a_{n+1}=\wurzel{x}(1+f_{n+1}) [/mm] und da dann links und rechts [mm] \wurzel{x} [/mm] steht fällt es weg.
> Was ist hier passiert, wieso fällt das Wurzel x weg und
> wieso steht auf der linken Seite nur [mm]1+f_n?[/mm] Also, wie kommt
> man darauf, dass [mm]1+f_n[/mm] nun gleich der Term rechts ist?
Ich hoff, dass das mit [mm] 1+f_{n+1} [/mm] jetzt klar ist. der Rest folgt dann ja auch.
> [mm]\Rightarrow f_{n+1}=0.5(f_n-1+\br{1}{1+f_n})=0.5\br{(f_n-1)(f_n+1)+1}{1+f_n} = 0.5 \br{f^2n}{1+f_n}[/mm]
>
> Wie wurde hier [mm]f_{n+1}[/mm] errechnet / wie kommt man da auf die
> rechte Seite?
hoffe, das ist jetzt klar
Guten Rutsch und schaff nicht ununterbrochen
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin Leduart.
> Ich denke du hast 2 Fehler in deinem mitschrieb.
Stimmt, das war alles falsch. Vielen Dank für die Hinweise - dadurch ist mir das auch alles klar geworden.
Also nochmals - vielen dank und guten Rutsch
Grüße,
Johann
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