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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 17.06.2006 | | Autor: | meanie |
| Aufgabe | | Wie viel Praenumerando-Renten von 400,00 können aus einem bei einer Bank eingezahlten kapital von 3.488,69 bei einer 5%igen Verzinsung bezogen werden? |
Hallo,
komme mit obiger Aufgabe nicht weiter; ich hoffe, mir kann jemand dabei helfen!
Da ich hier neu bin, werde ich versuchen meinen bisherigen Lösungsweg so aufzuführen, dass man ihn verstehen und lesen kann  :
gegeben:
r=400; Ro*=3.488,69; q=1,05
gesucht:
n=?
Formel für vorschüssigen Rentenbarwert:
[mm] Ro=r*q*\bruch{1}{q^n}*\bruch{q^n-1}{q-1}
\gdw Ro=r*\bruch{1}{q^{n-1}}*\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm]
[mm] \bruch{Ro}{r}=\bruch{1}{q^{n-1}}*\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm]
[mm] \bruch{Ro*{(q-1)}}{r}=\bruch{1}{q^{n-1}}*q^n-1 [/mm]
[mm] \bruch{Ro*{(q-1)}}{r}+1=\bruch{1}{q^{n-1}}*q^n [/mm]
So, jetzt weiß ich nicht weiter ... mal ganz abgesehen davon, dass ich noch nicht einmal weiß, ob ich bis dahin richtig umgeformt hab ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Was ich weiß ist, dass ich nach n umformen muss, und das geht ja normalerweise mit logarithmieren ... aber wie?
Bitte, bitte helft mir ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Melanie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Deine Formel sieht erstmal gut aus.
[mm] $Ro=r\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}}\cdot{}\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] $
und genau in diese Formel würde ich alles einsetzen, was bekannt ist:
[mm] $3488,69=400,00\cdot{}\bruch{1}{1,05^{n-1}}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] $
n muss so ca. zwischen 9 und 15 liegen.
d.h. du musst höchstens 6 Werte durchprobieren.
Nach meiner Erfahrung entziehen sich gerade Rentenformeln hartnäckig bestimmten Lösungsversuchen.
Ich glaub mit der ist es genauso.
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
[mm] $3488,69÷400,00\approx8,72$
[/mm]
D.h. der Betrag von 3488,69 EUR reicht bereits für fast 9 Auszahlungen, falls dir das Geldinstitut überhaupt keine Zinsen bezahlt.
Eigentlich wäre bei meiner Schätzung rausgekommen, dass 12 Auszahlungen das höchste ist, was man erhoffen könnte.
Dann habe ich frech gedacht: Mit 15 liege ich auf der sicheren Seite und hab 15 gesagt.
Wenn du 11 einsetzt, siehst du, dass ich damit garnicht sooo schlecht gelegen habe.
Aber du hast recht, man kann das tatsächlich nach n auflösen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo meanie,
>
> Allerdings sollen wir schon die Formel umstellen können! D.
> h., ich soll nicht irgendwelche Zahlen probeweiser
> einsetzen, sondern schon genau "rechnen" (also nach 'n'
> umstellen).
>
hier bietet sich die sogenannte "Sparkassenformel" an:
[mm]3.488,69*1,05^n - 400*1,05*\bruch{1,05^n -1}{0,05} = 0[/mm]
[mm] 3.488,69*1,05^n [/mm] - [mm] 8.000*1,05*(1,05^n [/mm] -1) = 0
[mm] 3.488,69*1,05^n -8.400*(1,05^n [/mm] -1) = 0
[mm] 1,05^n [/mm] *(3.488,69-8.400) + 8.400 = 0
[mm] 1,05^n [/mm] *(-4.911,31) = - 8.400
[mm] 1,05^n [/mm] = 1,7103379...
n = 11
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Sa 17.06.2006 | | Autor: | meanie |
Hallo Josef,
wow *ganzerstauntguck*
Ich glaube aber nicht, dass wir das so rechnen sollen ... was mich ein wenig beruhigt, da ich das, was du aufgeschrieben hast, überhaupt nicht verstehe 
Trotzdem danke!
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Irgendwie komm ich im Moment nicht weiter.![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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[mm] 1-\bruch{Ro\cdot{}{(q-1)}}{r\cdot{}q}=\bruch{1}{q^n} [/mm]
[mm] log_{q} (1-\bruch{Ro\cdot{}{(q-1)}}{r\cdot{}q})=-n [/mm]
[mm] n= -log_{q} (1-\bruch{Ro\cdot{}{(q-1)}}{r\cdot{}q}) [/mm]
11 Jahre stimmt.
Stand nirgends, daher hier die Umformung für n.
Gruß
Markus
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- $ [mm] 3488,69=400,00\cdot{}\bruch{1}{1,05^{n-1}}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] $
- $ [mm] 8,721725=\bruch{1,05}{1,05^n}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{0,05} [/mm] $
- $ [mm] 8,721725=\bruch{1,05}{0,05}\cdot{}\bruch{1,05^n-1}{1,05^n} [/mm] $
- $ [mm] 8,721725\cdot{}\bruch{0,05}{1,05}=\bruch{1,05^n-1}{1,05^n} [/mm] $
- $ [mm] 0,415320238=\bruch{1,05^n-1}{1,05^n} [/mm] $
- $ [mm] 0,415320238\cdot{}1,05^n=1,05^n-1 [/mm] $
- $ [mm] 1=1,05^n-0,415320238\cdot{}1,05^n [/mm] $
- $ [mm] 1=\left[1-0,415320238\right]\cdot{}1,05^n [/mm] $
- $ [mm] \frac{1}{0,584679762}=1,05^n [/mm] $
- $ [mm] 1,710337975=1,05^n [/mm] $
Ich geh kaputt!! Wer kommt mit??
Gell, den Rest kriegste selber hin??!!
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![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
