Repräsentantenunabhänigkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 So 29.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Sei f: M [mm] \to [/mm] N und eine Relation R:={ [mm] (m_1,m_2) \in M\times [/mm] M: [mm] f(m_1)=f(m_2) [/mm] } [mm] \subset [/mm] M [mm] \times [/mm] M gegeben.
R definiert Äquivalenzklassen [x]={ m [mm] \in [/mm] M: (x, m) [mm] \in [/mm] R } und wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen (Quotiontenmenge) mit M/R= { [x: x [mm] \in [/mm] M }.
u [mm] \in [/mm] [x] heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse [x].
a) Zeigen sie dass R eine Äquivalenzrelation ist
b) Sei [mm]\hat f[/mm]: M/R [mm] \to [/mm] R, [x] [mm] \mapsto[/mm] [mm]\hat f[/mm]([x]):= f(u), u [mm] \in [/mm] [x]. Zeigen sie, dass [mm]\hat f[/mm] wohldefiniert (d.h. der Wert [mm]\hat f[/mm]ist unabhänig vom gewähltenRepräsentanten u [mm] \in [/mm] [x]) und injektiv ist. |
Guten Morgen,
die a) war ja nicht das Problem.
b)
Hier hab ich mich erstmal informiert, was das ganze eig heißt und hoffe das stimmt.
Äquivalenzklasse [x]: Das sind alle Objekte die zu x äquivalent sind. Oben hieß das dann f(x)=f(m)
Quotientenmenge : Menge aller Äquivalenzklassen
Repräsentant: ist ein Element aus einer Äquivalenzklasse
Wirklich weiter bin ich aber noch nicht gekommen.
Ich soll zeigen, dass [mm]\hat f[/mm] wohldefiniert ist, indem ich zeige, dass [mm]\hat f[/mm]([x]) vom Repräsentanten unabhänig ist.
Das heißt für mich, dass für [mm]\hat f[/mm]([x]) immer das selbe rauskommt, egal was ich für "([x])" einsetze.
Dann müsste aber gelten, dass [mm] f([x_1])=f([x_2]) [/mm] ist, denn man soll ja auch zeigen, dass die Funktion injektiv ist.
Wirklich weiter bin ich aber leider nicht gekommen...
Gruß,
sup
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 So 29.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: M [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N und eine Relation R:={ [mm](m_1,m_2) \in M\times[/mm]
> M: [mm]f(m_1)=f(m_2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset[/mm] M [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M gegeben.
> R definiert Äquivalenzklassen [x]={ m [mm]\in[/mm] M: (x, m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R
> } und wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen
> (Quotiontenmenge) mit M/R= { [x: x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M }.
> u [mm]\in[/mm] [x] heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse [x].
> a) Zeigen sie dass R eine Äquivalenzrelation ist
> b) Sei [mm]\hat f[/mm]: M/R [mm]\to[/mm] R, [x] [mm]\mapsto[/mm] [mm]\hat f[/mm]([x]):= f(u),
> u [mm]\in[/mm] [x]. Zeigen sie, dass [mm]\hat f[/mm] wohldefiniert (d.h. der
> Wert [mm]\hat f[/mm]ist unabhänig vom gewähltenRepräsentanten u
> [mm]\in[/mm] [x]) und injektiv ist.
> Guten Morgen,
>
> die a) war ja nicht das Problem.
>
> b)
> Hier hab ich mich erstmal informiert, was das ganze eig
> heißt und hoffe das stimmt.
> Äquivalenzklasse [x]: Das sind alle Objekte die zu x
> äquivalent sind. Oben hieß das dann f(x)=f(m)
> Quotientenmenge : Menge aller Äquivalenzklassen
> Repräsentant: ist ein Element aus einer
> Äquivalenzklasse
>
> Wirklich weiter bin ich aber noch nicht gekommen.
> Ich soll zeigen, dass [mm]\hat f[/mm] wohldefiniert ist, indem ich
> zeige, dass [mm]\hat f[/mm]([x]) vom Repräsentanten unabhänig
> ist.
> Das heißt für mich, dass für [mm]\hat f[/mm]([x]) immer das
> selbe rauskommt, egal was ich für "([x])" einsetze.
Nein ! Du sollst zeigen: f(u)=f(v) für u,v [mm] \in [/mm] [x]
FRED
>
> Dann müsste aber gelten, dass [mm]f([x_1])=f([x_2])[/mm] ist, denn
> man soll ja auch zeigen, dass die Funktion injektiv ist.
>
> Wirklich weiter bin ich aber leider nicht gekommen...
>
> Gruß,
> sup
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 29.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Nein ! Du sollst zeigen: f(u)=f(v) für u,v [mm]\in[/mm] [x]
>
>
> FRED
sicher? Hab noch einen Kollegen gefragt, der sagt man soll zeigen:
f([x])=f([y]) für x,y [mm] \in [/mm] M mit [x]=[y]
Mir ist deins einleuchtender, denn es heißt ja Repräsentantenunabhänigkeit und der Repräsentant ist [mm] \in [/mm] [x]. Aber ich frag hier besser nochmal nach 
ok wenn u,v [mm] \in [/mm] [x]
dann gilt ja auch u ~ v [mm] \Rightarrow [/mm] f(u)=f(v)
das kannst ja nicht schon gewesen sein oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Nein ! Du sollst zeigen: f(u)=f(v) für u,v [mm]\in[/mm] [x]
> >
> >
> > FRED
> sicher?
Ja
> Hab noch einen Kollegen gefragt, der sagt man soll
> zeigen:
> f([x])=f([y]) für x,y [mm]\in[/mm] M mit [x]=[y]
Dann mach Dir und Deinem Kollegen klar, dass ich nichts anderes gesagt habe !!!
>
> Mir ist deins einleuchtender, denn es heißt ja
> Repräsentantenunabhänigkeit und der Repräsentant ist [mm]\in[/mm]
> [x]. Aber ich frag hier besser nochmal nach
>
> ok wenn u,v [mm]\in[/mm] [x]
> dann gilt ja auch u ~ v [mm]\Rightarrow[/mm] f(u)=f(v)
> das kannst ja nicht schon gewesen sein oder?
Doch, das wars schon.
FRED
|
|
|
|
