Residuen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 27.05.2006 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | | Berechnen sie die Residuen von [mm]f(z)=(1+z)/(1-cos(z))[/mm] für [mm]z_k=2\pi k[/mm] mit [mm]k \in \IZ[/mm]. |
Hallo,
im Prinzip muss man bei der Aufgabe ja einfach nur rechnen. Ich habe also zuerst die Ordnung des Pols bestimmt und 2 erhalten. Um jetzt das Residuum zu berechnen habe ich die Formel mit der Ableitung genutzt. Also
[mm]\limes_{z->z_k}\bruch{d}{dz}(z-z_k)^2\cdot f(z)
=\limes_{z->z_k}\bruch{ {\overbrace{2(z-z_k)(1+z)(1-cos(z))}^{\mbox{NST. 3 Ordnung in } z_k} }}{\underbrace{(1-cos(z))^2}_{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k}} + \bruch{ {\overbrace{(z-z_k)^2(1-cos(z))}^{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k} }}{\underbrace{(1-cos(z))^2}_{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k}}} + \bruch{ {\overbrace{(z-z_k)^2(1+z)sin(z)}^{\mbox{NST. 3 Ordnung in } z_k} }}{\underbrace{(1-cos(z))^2}_{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k}}}[/mm]
Jetzt kommt der Punkt, wo ich mir nicht sicher bin. Der Grenzwert exsitiert ja also, müssen sich die Terme im Zähler, die nur eine Nullstelle 3. Ordnung haben im Grenzfall gegenseitig aufheben, so dass übrig bliebt:
[mm]\limes_{z \rightarrow z_k}\bruch{(z-z_k)^2}{1-cos(z)}=2.[/mm]
Das Ergbenis ist richtig, ich habe es mit Maple nachgerechnet. Meine Frage ist, ob die Argumentation zum Weglassen der Terme mit einer Nullstelle 3. Ordnung in [mm] z_k [/mm] richtig ist.
Gruß
Frank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank!
Bitte schreibe demnaechst ordentliche Formeln und zwar mit der richtigen Formeleditorsyntax! Es hat mich jetzt einiges an Zeit gekostet dein Posting so zu reparieren, das es den Formeleditor nicht mehr voellig durcheinander geworfen hat und man es anstaendig zitieren kann ohne das Zitat an 1000 Stellen korrigieren zu muessen!
> Berechnen sie die Residuen von [mm]f(z)=(1+z)/(1-cos(z))[/mm] für
> [mm]z_k=2\pi k[/mm] mit [mm]k \in \IZ[/mm].
> Hallo,
>
> im Prinzip muss man bei der Aufgabe ja einfach nur rechnen.
> Ich habe also zuerst die Ordnung des Pols bestimmt und 2
> erhalten. Um jetzt das Residuum zu berechnen habe ich die
> Formel mit der Ableitung genutzt. Also
> [mm]\limes_{z->z_k}\bruch{d}{dz}(z-z_k)^2\cdot f(z)
=\limes_{z->z_k}\bruch{ {\overbrace{2(z-z_k)(1+z)(1-cos(z))}^{\mbox{NST. 3 Ordnung in } z_k} }}{\underbrace{(1-cos(z))^2}_{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k}} + \bruch{ {\overbrace{(z-z_k)^2(1-cos(z))}^{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k} }}{\underbrace{(1-cos(z))^2}_{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k}}} + \bruch{ {\overbrace{(z-z_k)^2(1+z)sin(z)}^{\mbox{NST. 3 Ordnung in } z_k} }}{\underbrace{(1-cos(z))^2}_{\mbox{NST. 4 Ordnung in } z_k}}}[/mm]
>
> Jetzt kommt der Punkt, wo ich mir nicht sicher bin. Der
> Grenzwert exsitiert ja also, müssen sich die Terme im
> Zähler, die nur eine Nullstelle 3. Ordnung haben im
> Grenzfall gegenseitig aufheben, so dass übrig bliebt:
> [mm]\limes_{z \rightarrow z_k}\bruch{(z-z_k)^2}{1-cos(z)}=2.[/mm]
So kann man normalerweise nicht argumentieren! Wenn du z.B. den Grenzwert [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 1 = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (2 + (n - 1) - n)$ schreibst und dann argumentierst, dass $n-1, n [mm] \to \infty$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] und sie sich somit wegheben und nur noch 2 uebrigbleibt, dnan ist das ja offensichtlich falsch. Insofern kannst du hier so nicht argumentieren.
> Das Ergbenis ist richtig, ich habe es mit Maple
> nachgerechnet. Meine Frage ist, ob die Argumentation zum
> Weglassen der Terme mit einer Nullstelle 3. Ordnung in [mm]z_k[/mm]
> richtig ist.
Ich wuerde einen anderen Ansatz vorschlagen: Es ist ja [mm] $\frac{1 + z}{1 - \cos z} [/mm] = [mm] \sum_{n=-2}^\infty a_n [/mm] (z - [mm] z_k)^n$ [/mm] (Laurententwicklung) fuer gewisse [mm] $a_n \in \IC$. [/mm] Wenn du jetzt mit $1 - [mm] \cos [/mm] z$ multiplizierst und die Reihenentwicklung von [mm] $\cos [/mm] z$ in $z - [mm] z_k$ [/mm] einsetzt, kannst du die ersten paar Terme des Produktes ausrechnen. Mit Koeffizientenvergleich (schreibe $1 + z = (1 - [mm] z_0) [/mm] (z - [mm] z_0)^0 [/mm] + (z - [mm] z_0)^1$) [/mm] kannst du dann [mm] $a_{-1}$ [/mm] bestimmen, und [mm] $a_{-1}$ [/mm] ist ja das Residuum.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 28.05.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo Felix,
vielen dank für deinen Tipp. Habe es damit hinbekommen.
> Bitte schreibe demnaechst ordentliche Formeln und zwar mit
> der richtigen Formeleditorsyntax! Es hat mich jetzt einiges
> an Zeit gekostet dein Posting so zu reparieren, das es den
> Formeleditor nicht mehr voellig durcheinander geworfen hat
> und man es anstaendig zitieren kann ohne das Zitat an 1000
> Stellen korrigieren zu muessen!
Das tut mir leid. Hatte in der Tat einige Problem bis der Formeleditor es angekommen hat, aber da es dann klappt, dachte ich der Syntax wäre in Ordnung.
Gruß
Frank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank!
> vielen dank für deinen Tipp. Habe es damit hinbekommen.
Schoen :)
> > Bitte schreibe demnaechst ordentliche Formeln und zwar mit
> > der richtigen Formeleditorsyntax! Es hat mich jetzt einiges
> > an Zeit gekostet dein Posting so zu reparieren, das es den
> > Formeleditor nicht mehr voellig durcheinander geworfen hat
> > und man es anstaendig zitieren kann ohne das Zitat an 1000
> > Stellen korrigieren zu muessen!
>
> Das tut mir leid. Hatte in der Tat einige Problem bis der
> Formeleditor es angekommen hat, aber da es dann klappt,
> dachte ich der Syntax wäre in Ordnung.
Ja das ist so ein gewisses Problem. Der Formeleditor will es halt den Benutzern einfach machen und akzeptiert auch einiges, was nicht in Ordnung ist. Bzw. einiges was dann den Leuten um die Ohren fliegt, die eine Antwort schreiben wollen... (Etwa geschweifte Klammern die einfach so verwendet werden, da bekommt man dann regelmaessig haessliche Fehler wenn man antwortet.)
Bei deiner Formel war das Problem, dass du in der mbox einen Unterstrich benutzt hast. Sowas geht nicht, da das in der mbox Text ist und keine Formel, und ich schaetze mal der Formeleditor hat dann da was eingefuegt was alles zerstoert hat, oder TeX selber hat versucht das zu retten. Zumindest war das Ergebnis dann eine Katastrophe... :)
LG Felix
|
|
|
|
