Residuuen berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
ich bin gerade dabei den Stoff vom letzten semester nachzuholen, weil ich einige zeit lang krank war.
jetzt bin ich gerade bei residuuen und ich verstehe schonmal gar nicht was das ist, noch kann ich aus dem skript nachvollziehen, wie ich es berechne.
ich wäre sehr froh, wenn mir vielleicht jemand dabei helfen könnte, zu verstehen, wie ich es wenigstens ausrechnen kann.
und zwar habe ich folgendes beispiel aus einem skript:
f(z)= [mm] \bruch{cos(z)}{z} [/mm] mit z=0
wegen [mm] cos(z)=1-\bruch{z^{2}}{2!}\pm... (z\in\IC) [/mm] folgt [mm] res_{z=a} \bruch{cos(z)}{z}=1
[/mm]
mir ist klar dass [mm] cos(z)=1-\bruch{z^{2}}{2!}\pm... [/mm] die reihenentwicklugn ist. aber wie komme ich jetzt auf 1? was muss ich machne, wenn cos noch durch z geteilt werden muss? laut skript muss ich nach dem glied [mm] c_{-1} [/mm] gucken. aber wo ist das?
das gleiche problem habe ich hier:
[mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm] mit [mm] z\not=0
[/mm]
wegen
[mm] e^{\bruch{1}{z}} =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}\bruch{1}{z^{n}} [/mm] z=0 gilt [mm] res_{z=0}e^{\bruch{1}{z}}=1
[/mm]
wie komme ich auf 1?
wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen würde
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Ganz allgemein: hat f in 0 eine isolierte Singularität, so sieht die Laurententwicklung um 0 so aus:
$ f(z) = [mm] \sum_{\nu=-\infty}^{\infty}~a_{\nu} z^{\nu} [/mm] $
Dann ist [mm] $res_{z=0}f=a_{-1}$.
[/mm]
Also verschaffe Dir die Laurententwicklungen von [mm] \bruch{cosz}{z} [/mm] bzw. [mm] e^{1/z} [/mm] .
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
ja, aber da ist ja jetzt schon mein problem...ich weiß schon einfach nicht wo [mm] c_{-1} [/mm] ist...
ist die reihenentwicklung
[mm] \bruch{1}{z}-\bruch{z}{2!}+\bruch{z^{3}}{4!}\pm...?
[/mm]
wenn, wo kann ich es dann ablesen?
tut mir leid, aber ic habe nun mal absolut keine erfahrung mit dem thema...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] a_{-1} [/mm] ist der Koeffizient von [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
aber woher weiß ich das denn? woher weiß ich denn bei anderen aufgaben von welchem teil [mm] a_{-1} [/mm] der koeffizient ist? es ist doch nichtg immer der erste summnad?
tut mir leid, ich verstehe es nicht, und wäre dankbar, wenn es ir jemand mit ein paar worten erklären könnte...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Laurententw. sieht so aus:
$ [mm] a_0+a_1z+a_2z^2+ ........+a_{-1}\bruch{1}{z}+a_{-2}\bruch{1}{z^2}+ [/mm] .....$
Residuum = Koeffizient von [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
Anderes Beispiel: ist [mm] p(x)=b_0+b_1x+....+b_nx^n [/mm] ein Polynom, so nennt man den Koeffizienten [mm] b_2 [/mm] bekanntlich (!) das FREDDY von p
Beispiele:
1. [mm] p(x)=1+2x+4x^2+5x^3: [/mm] FREDDY von p = 4
2, p(x)=-2-9x: FREDDY von p =0
Grüße vom FREDDY
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
das heißt es ist wirklich immer die zahl die vor 1/z steht?
d.h. vorrausgesetzt es wird um den punkt 0 entwickelt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> das heißt es ist wirklich immer die zahl die vor 1/z
> steht?
>
> d.h. vorrausgesetzt es wird um den punkt 0 entwickelt?
Ja
FRED
|
|
|
|
