Residuum bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(z)=z^5*e^{1/z} [/mm] |
Zuerst schaue ich mir die isolierten Singularitäten an. Ich bin mir hier etwas unsicher [mm] (e^{1/z} [/mm] hat in 0 eine wesentliche, daher auch f(z)?)
Falls 0 eine wesentliche sein sollte, so ist mir keine Bestimmung des Residuums bekannt, lediglich falls es sich um einen Pol, eine hebbare, oder eine meromorphe Funktion handelt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f(z)=z^5*e^{1/z}[/mm]
> Zuerst schaue ich mir die isolierten Singularitäten an.
> Ich bin mir hier etwas unsicher [mm](e^{1/z}[/mm] hat in 0 eine
> wesentliche, daher auch f(z)?)
Ja. Es ist sicher keine hebbare 
> Falls 0 eine wesentliche sein sollte, so ist mir keine
> Bestimmung des Residuums bekannt, lediglich falls es sich
> um einen Pol, eine hebbare, oder eine meromorphe Funktion
> handelt.
Dir ist mit Sicherheit eine Methode bekannt: wenn du die Laurentreihe von $f(z)$ angeben kannst, kannst du das Residuum ablesen. Was weisst du über die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion?
Viele Grüße
Rainer
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[mm] f(z)=z^5\cdot{}e^{1/z}=z^5*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*(\bruch{1}{z^k})
[/mm]
=> [mm] c_{-1}=Residuum=\bruch{1}{-1!}, [/mm] da kann etwas nicht stimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Sa 12.05.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> [mm]f(z)=z^5\cdot{}e^{1/z}=z^5*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*(\bruch{1}{z^k})[/mm]
>
> => [mm]c_{-1}=Residuum=\bruch{1}{-1!},[/mm] da kann etwas nicht
> stimmen.
Da hast Du recht !
Schreib das dodch mal aus
[mm]f(z)=z^5\cdot{}e^{1/z}=z^5*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*(\bruch{1}{z^k})[/mm]
die ersten ? Summanden bis Du auf einen triffst der Form [mm] \bruch{r}{z}
[/mm]
dann ist r das was Du suchst
FRED
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Das kann dann doch nur 1 sein. [mm] Res_{0}f=1
[/mm]
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Hallo Omikron,
> Das kann dann doch nur 1 sein. [mm]Res_{0}f=1[/mm]
Nein, schreibe die ersten 7 Summanden hin, dann kannst du das Residuum ablesen, da muss doch irgendwo ein $n!$ (für irgendein n) auftreten.
Schreib's mal hier auf, dann wird dir auffallen, für welches $n$ da was steht ...
Gruß
schachuzipus
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Ok, dann muss es [mm] \bruch{1}{6!} [/mm] sein.
Aus welchem Satz folgt aber, dass genau r das Residuum sein soll?
Ich kenne nur die Definition, dass wenn [mm] z_0 [/mm] eine isolierte Singularität von f=sum... ist => [mm] c_{-1}=Res_{z_0}f
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 So 13.05.2012 | | Autor: | Omikron123 |
Ich hätte hinsichtlich der Bestimmung des Residuums noch ein Beispiel, das mir Probleme bereitet.
[mm] f(z)=\bruch{1}{(z^2+1)^2} [/mm] Ich habe es erstmal umgeschrieben
[mm] f(z)=\bruch{1}{(z-i)^2*(z+i)^2} [/mm] Pole der Ordnung m
Bestimme [mm] g(z)=\bruch{1}{(z+i)^2} [/mm] Dann die Ableitung (da ja Ord=2) [mm] g'(z)=\bruch{-2}{(z+i)^3}
[/mm]
=> [mm] Res_{i}f=\bruch{g'(i)}{1!}=\bruch{1}{4i}
[/mm]
Bei dem anderen Pol würde jedoch im Nenner von g' 0 stehen, da kann etwas nicht stimmen.
Edit: Hat sich geklärt, beim Schreiben auf den Fehler gestoßen.
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Hallo Omikron,
> Ok, dann muss es [mm]\bruch{1}{6!}[/mm] sein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aus welchem Satz folgt aber, dass genau r das Residuum sein
> soll?
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_%28Funktionentheorie%29
> Ich kenne nur die Definition, dass wenn [mm]z_0[/mm] eine isolierte
> Singularität von f=sum... ist => [mm]c_{-1}=Res_{z_0}f[/mm]
Du hast hier doch die Darstellung von $f$ als Laurentreihe, da musst du nur den $(-1)$-ten Koeffizienten ablesen ...
Gruß
schachuzipus
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