Resolventenmenge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Fr 15.07.2011 | | Autor: | physicus |
Abend,
Ich stosse immer wieder über zwei unterschiedliche Definitionen für die Resolventenmenge $\ [mm] \rho(A)$ [/mm] eines Operators $\ A:X [mm] \to [/mm] X$.
$\ [mm] \rho(A):=\{\lambda \in \IC | (\lambda id-A)^{-1} \text{existiert und ist stetig}\}$
[/mm]
Manchmal wird die auch noch Surjektivität von $\ [mm] (\lambda id-A)^{-1}$verlangt. [/mm] Wie kann ich denn die Surjektivität aus der Injektivität und der stetigen Inverse folgern? Ansonsten gäbe es ja zwei unterschiedliche Definitionen.
Noch eine Anschlussfrage zur Spektraltheorie:
Sind Spektrum und Punktspektrum immer gleich? Ich habe nur Bsp. gesehen, wo sie gleich sind. Gibt es Bsp. wo das Spektrum echt grösser ist, als das Punktspektrum?
Danke und Gruss
physicus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Fr 15.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich stosse immer wieder über zwei unterschiedliche
> Definitionen für die Resolventenmenge [mm]\ \rho(A)[/mm] eines
> Operators [mm]\ A:X \to X[/mm].
>
> [mm]\ \rho(A):=\{\lambda \in \IC | (\lambda id-A)^{-1} \text{existiert und ist stetig}\}[/mm]
das Inverse einer Funktion existiert genau dann, wenn sie bijektiv ist.
> Manchmal wird die auch noch Surjektivität von [mm]\ (\lambda id-A)^{-1}[/mm]verlangt.
Das ist es automatisch: wenn das Inverse existiert, ist sowohl die Funktion wie auch die Umkehrfunktion bijektiv.
> Wie kann ich denn die Surjektivität aus der Injektivität
> und der stetigen Inverse folgern? Ansonsten gäbe es ja
> zwei unterschiedliche Definitionen.
> Noch eine Anschlussfrage zur Spektraltheorie:
>
> Sind Spektrum und Punktspektrum immer gleich? Ich habe nur
> Bsp. gesehen, wo sie gleich sind. Gibt es Bsp. wo das
> Spektrum echt grösser ist, als das Punktspektrum?
![[]](/images/popup.gif) Hier ist ein Beispiel.
Ansonsten betrachte den Folgenraum [mm] $\ell^2$ [/mm] mit dem Shiftoperator $R : [mm] (a_1, a_2, a_3, \dots) \mapsto [/mm] (0, [mm] a_1, a_2, \dots)$. [/mm] Dieser ist injektiv, aber nicht surjektiv. Damit liegt 0 nicht im Punktspektrum, jedoch im Spektrum.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Sa 16.07.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo felix
ich danke dir für deine schnelle Antwort. Nur eine kleine Nachfrage, ob ich dies richtig verstanden habe.
Wenn wir den Shiftoperator R betrachten, dann ist mir klar, dass dieser linear ist und im Kern befindet sich nur die 0. Also ist er injektiv. Dass er nicht surjektiv ist, zeigt z.B. dass ich folgende Folge nicht erhalten kann:
$\ (1,0,....)$ welche aber in $\ [mm] l^2$ [/mm] liegt.
Nun zu den Spektra:
Es ist klar, dass $\ 0 $ nicht im Punkspektrum sein kann, da wenn ich für $\ [mm] \lambda [/mm] =0$ setze, folgendes erhalte:
$\ 0id-R=-R $ ist injektiv, also kann 0 nicht im Punktspektrum sein.
Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass 0 nicht in der Resolventenmenge ist, dann ist es ja automatisch im Spektrum. D.h.
$\ [mm] (0id-R)^{-1} [/mm] = [mm] (-R)^{-1} [/mm] $ darf nicht existieren resp. nicht stetig sein. Da $\ R$ injektiv ist, hat es aber eine Inverse. Wieso ist diese nicht stetig?
Danke und Gruss
physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Sa 16.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich danke dir für deine schnelle Antwort. Nur eine kleine
> Nachfrage, ob ich dies richtig verstanden habe.
>
> Wenn wir den Shiftoperator R betrachten, dann ist mir klar,
> dass dieser linear ist und im Kern befindet sich nur die 0.
> Also ist er injektiv. Dass er nicht surjektiv ist, zeigt
> z.B. dass ich folgende Folge nicht erhalten kann:
>
>
> [mm]\ (1,0,....)[/mm] welche aber in [mm]\ l^2[/mm] liegt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun zu den Spektra:
>
> Es ist klar, dass [mm]\ 0[/mm] nicht im Punkspektrum sein kann, da
> wenn ich für [mm]\ \lambda =0[/mm] setze, folgendes erhalte:
>
> [mm]\ 0id-R=-R[/mm] ist injektiv, also kann 0 nicht im Punktspektrum
> sein.
> Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass 0 nicht in der
> Resolventenmenge ist, dann ist es ja automatisch im
> Spektrum. D.h.
>
> [mm]\ (0id-R)^{-1} = (-R)^{-1}[/mm] darf nicht existieren resp.
> nicht stetig sein. Da [mm]\ R[/mm] injektiv ist, hat es aber eine
> Inverse. Wieso ist diese nicht stetig?
Es hat eben keine Inverse! Nur bijektive Funktionen haben eine Inverse! Und bijektiv ist eine Funktion nur dann, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Es ist schon so, dass man auch zu injektiven Funktionen eine Art Umkehrfunktion finden kann, diese ist aber nicht auf dem ganzen Bildbereich definiert! So ist zum Beispiel $f : [0, 1] [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] 2 x$ injektiv, aber nicht surjektiv. Somit existiert keine Inverse [mm] $\IR \to [/mm] [0, 1]$. Jedoch existiert eine Inverse von $Bild(f) = [0, 2] [mm] \to [/mm] [0, 1]$.
Bei der Definition der Resolventenmenge ist nicht gefordert, dass eine Inverse auf einem bestimmten Teil des Bildes existiert, sondern dass eine "echte" Inverse existiert. Damit muss die Funktion bijektiv sein.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Sa 16.07.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo felix,
Super danke, wie immer steckt der Teufel im Detail. Ich habe mich nun daran gemacht als Übung das Spektrum sowie das Punktspektrum des links / rechts Shifts auf $\ [mm] l^2 [/mm] $ zu berechnen. Für den links Shift hatte ich keine Probleme. Ich konnte zeigen, dass $\ |z| < 1$ die Menge der Eigenwerte, also das Punktspektrum ist und das Spektrum besteht gerade aus dem abgeschlossenen Einheitskugel. Für den rechts Shift tue ich mich ein wenig schwerer. Ich konnte zeigen, dass das Punktspektrum die leere Menge ist, sowie folgende Mengeninklusion:
$\ [mm] \sigma(R) \subset \{z\in \IC ;|z|\le1\}$ [/mm] dies folgt daraus, dass $\ R $ eine Isometrie ist und dann über die Argumentation von Neumann Reihen. Ich habe gelesen, dass das Spektrum des recht Shift ebenfalls der abgeschlossene Einheitskreis ist. Wie kann ich die umgekehrte Mengeninklusion zeigen? Da stecke ich irgendwie fest. Danke,
Gruss
physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 16.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo felix,
>
> Super danke, wie immer steckt der Teufel im Detail. Ich
> habe mich nun daran gemacht als Übung das Spektrum sowie
> das Punktspektrum des links / rechts Shifts auf [mm]\ l^2[/mm] zu
> berechnen. Für den links Shift hatte ich keine Probleme.
> Ich konnte zeigen, dass [mm]\ |z| < 1[/mm] die Menge der Eigenwerte,
> also das Punktspektrum ist und das Spektrum besteht gerade
> aus dem abgeschlossenen Einheitskugel. Für den rechts
> Shift tue ich mich ein wenig schwerer. Ich konnte zeigen,
> dass das Punktspektrum die leere Menge ist, sowie folgende
> Mengeninklusion:
>
> [mm]\ \sigma(R) \subset \{z\in \IC ;|z|\le1\}[/mm] dies folgt
> daraus, dass [mm]\ R[/mm] eine Isometrie ist und dann über die
> Argumentation von Neumann Reihen. Ich habe gelesen, dass
> das Spektrum des recht Shift ebenfalls der abgeschlossene
> Einheitskreis ist. Wie kann ich die umgekehrte
> Mengeninklusion zeigen? Da stecke ich irgendwie fest.
> Danke,
>
Betrachte den Linksshift L. Es gilt [mm] L=R^{\star}
[/mm]
Zeige: jedes z mit |z|<1 ist ein Eigenwert. Somit ist
[mm] \{z\in \IC ;|z|<1\} \subseteq \sigma(L) \subseteq \{z\in \IC ;|z|\le1\}
[/mm]
Da da Spektrum abgeschlossen ist, ist
[mm] \sigma(L) [/mm] = [mm] \{z\in \IC ;|z|\le1\}
[/mm]
Weiter gilt:
[mm] \sigma(L) [/mm] = [mm] \sigma(R^{\star}) [/mm] = [mm] \{ \overline{z}:z \in \sigma(R)\}
[/mm]
FRED
> Gruss
>
> physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 16.07.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo fred,
Für den links Shift habe ich ja bereits alles bewiesen. Aber was ich nicht weiss, wieso gilt:
> [mm]\sigma(L)[/mm] = [mm]\sigma(R^{\star})[/mm] = [mm]\{ \overline{z}:z \in \sigma(R)\}[/mm]
>
Ist dies so klar? Bewiesen haben wir dies nie in der Vorlesung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 16.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei H ein komplexer Hilbertraum und T:H [mm] \to [/mm] H stetig und linear.
Dann gilt: T ist bijektiv [mm] \gdw T^{\star} [/mm] ist bijektiv.
Das hattet Ihr sicher.
Daraus folgt für z [mm] \in \IC:
[/mm]
z [mm] \notin \sigma(T) \gdw \overline{z} \notin \sigma(T^{\star})
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Sa 16.07.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo fred,
Nein hatten wir nicht. Wir haben nur ganz wenig Spektraltheorie gemacht. Daher wollte ich das ganze über eine Mengeninklusion zeigen. Aber ich werde die von dir gepostete Aussage einmal nachschlagen in einem Buch.
Gruss
physicus
|
|
|
|
