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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 27.04.2008 | | Autor: | bamm |
| Aufgabe | Geg. ist die Funktion:
f(x) = [mm] \wurzel[4]{x} [/mm] für 0,7 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1,3
Man ersetze f(x) durch das Taylorpolynom vom Grad 2 mit Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 1 und berechne mit Hilfe des Restgliedes eine Schranke für den relativen Fehler. |
Hallo,
bei obiger Aufgabe tu ich mir irgendwie schwer. Mein Ansatz soweit war: Restglied erstmal ausrechnen und dann den maximalen Wert des Restglieds jeweils durch die Extremwerte der Funktion teilen damit ich den relativen Fehler bekommen. Also erstmal das Taylorpolynom vom Grad 2 für [mm] x_0 [/mm] = 1 ausrechnen, kommt raus:
[mm]p_2(x) = 1 + \bruch{1}{4}(x-1) - \bruch{3}{32} (x-1)^2[/mm]
Für das Restglied hab ich das hier als Ansatz:
[mm]f(x) - p_2(x) = \bruch {f^(3)(\gamma)}{3!} (x-1)^3 = \bruch {\bruch {21}{64} \gamma ^ {-\bruch {11}{4}}}{3!} (x-1)^3[/mm] für [mm]\gamma \in \left[0,7;1,3\right][/mm] (soll ja zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegen).
Und was nun? Stimmen meine Ideen überhaupt so weit oder bin ich auf dem Holzweg :-|? Müsste ich nun bestimmen für welches [mm]\gamma[/mm] das ganze maximal wird?!
Gruß
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Hallo bamm,
> Geg. ist die Funktion:
> f(x) = [mm]\wurzel[4]{x}[/mm] für 0,7 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1,3
>
> Man ersetze f(x) durch das Taylorpolynom vom Grad 2 mit
> Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] = 1 und berechne mit Hilfe des
> Restgliedes eine Schranke für den relativen Fehler.
> Hallo,
> bei obiger Aufgabe tu ich mir irgendwie schwer. Mein
> Ansatz soweit war: Restglied erstmal ausrechnen und dann
> den maximalen Wert des Restglieds jeweils durch die
> Extremwerte der Funktion teilen damit ich den relativen
> Fehler bekommen. Also erstmal das Taylorpolynom vom Grad 2
> für [mm]x_0[/mm] = 1 ausrechnen, kommt raus:
> [mm]p_2(x) = 1 + \bruch{1}{4}(x-1) - \bruch{3}{32} (x-1)^2[/mm]
>
> Für das Restglied hab ich das hier als Ansatz:
> [mm]f(x) - p_2(x) = \bruch {f^(3)(\gamma)}{3!} (x-1)^3 = \bruch {\bruch {21}{64} \gamma ^ {-\bruch {11}{4}}}{3!} (x-1)^3[/mm]
Genauer:
[mm]\vmat{f(x) - p_2(x)} \le \vmat{\bruch {f^(3)(\gamma)}{3!} (x-1)^3}[/mm]
> für [mm]\gamma \in \left[0,7;1,3\right][/mm] (soll ja zwischen x und
> [mm]x_0[/mm] liegen).
> Und was nun? Stimmen meine Ideen überhaupt so weit oder
> bin ich auf dem Holzweg :-|? Müsste ich nun bestimmen für
> welches [mm]\gamma[/mm] das ganze maximal wird?!
Es geht ja darum, [mm]f^{3}\left(\gamma\right)[/mm] im besagten Intervall abzuschätzen.
Dasselbe machst Du mit [mm]\vmat{x-1}[/mm].
Dann bekommst Du den maximalen Fehler.
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 27.04.2008 | | Autor: | bamm |
Hallo,
danke für den Tipp. Bloß leider bringt mich dieser nicht so ganz weiter. Ich hänge an dem [mm]\gamma[/mm] fest, was soll ich dort einsetzen? Einfach einen Wert, für den das Restglied maximal wird?
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Hallo bamm,
> Hallo,
> danke für den Tipp. Bloß leider bringt mich dieser nicht
> so ganz weiter. Ich hänge an dem [mm]\gamma[/mm] fest, was soll ich
> dort einsetzen? Einfach einen Wert, für den das Restglied
> maximal wird?
Wie schon geschrieben, [mm]f^{\left(3\right)}\left(\gamma\right)[/mm] ist im Intervall [mm]\left[0.7;1.3\right][/mm] abzuschätzen, sprich das betragsmäßige Maximum zu ermitteln.
Gruß
MathePower
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