Restglied Taylorpolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 23.06.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit dem Satz von Taylor eine Umgebung U von 0, sodass für alle x Element U gilt:
[mm] \left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right [/mm] |< [mm] \frac{1}{12}10^{-6} [/mm] |
Hallo Forum,
erst hab ich mich gefreut, mal mit Zahlen rechnen. Jetzt weiß ich aber nicht mehr ganz so toll weiter.
Meine Idee ist:
[mm] \left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right [/mm] | stellt den Fehler in der Aprox. von sin(x) im Entwicklungspunkt 0 dar. Dabei ist
[mm] (x-\frac{x^3}{6}) [/mm] das Taylorpolynom vom Grad 3. (In meinen Unterlagen als [mm] P_{3,0}(x) [/mm] benannt)
Diesen Fehler kann ich auch mit dem Restglied ausdrücken. (Bezeichnet mit [mm] R_{3,0}(x) [/mm] )
Von der Überlegung müßte ich jetzt eigentlich nur [mm] R_{3,0}(x) [/mm] < [mm] \frac{1}{12}10^{-6}
[/mm]
setzen und könnte dann mit dem x die Umgebung ausrechnen.
Dabei komme ich nicht weiter. Das Restglied lässt sich mit:
[mm] R_{3,0}(x)=\frac{f^{n+1}(t0)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
[/mm]
berechnen. Wobei a der Entwicklungspunkt, also 0 ist. n+1 muß dann 4 sein, aber t0 bereitet mir Probleme.
Wenn ich das richtig sehe, dann muß ich doch mein t0 in Abhängigkeit von x wählen.
... das hab ich aber noch nicht.
Würde mich über eine Idee freuen,
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 23.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie mit dem Satz von Taylor eine Umgebung U von
> 0, sodass für alle x Element U gilt:
>
> [mm]\left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right[/mm] |<
> [mm]\frac{1}{12}10^{-6}[/mm]
> Hallo Forum,
> erst hab ich mich gefreut, mal mit Zahlen rechnen. Jetzt
> weiß ich aber nicht mehr ganz so toll weiter.
>
> Meine Idee ist:
> [mm]\left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right[/mm] | stellt den
> Fehler in der Aprox. von sin(x) im Entwicklungspunkt 0 dar.
> Dabei ist
>
> [mm](x-\frac{x^3}{6})[/mm] das Taylorpolynom vom Grad 3. (In meinen
> Unterlagen als [mm]P_{3,0}(x)[/mm] benannt)
>
>
> Diesen Fehler kann ich auch mit dem Restglied ausdrücken.
> (Bezeichnet mit [mm]R_{3,0}(x)[/mm] )
>
> Von der Überlegung müßte ich jetzt eigentlich nur
> [mm]R_{3,0}(x)[/mm] < [mm]\frac{1}{12}10^{-6}[/mm]
> setzen
Nein, sondern [mm]|R_{3,0}(x)|[/mm] < [mm]\frac{1}{12}10^{-6}[/mm]
> und könnte dann mit dem x die Umgebung
> ausrechnen.
>
> Dabei komme ich nicht weiter. Das Restglied lässt sich
> mit:
>
> [mm]R_{3,0}(x)=\frac{f^{n+1}(t0)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/mm]
>
> berechnen. Wobei a der Entwicklungspunkt, also 0 ist. n+1
> muß dann 4 sein, aber t0 bereitet mir Probleme.
> Wenn ich das richtig sehe, dann muß ich doch mein t0 in
> Abhängigkeit von x wählen.
> ... das hab ich aber noch nicht.
Es ist doch
[mm] R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4
[/mm]
also
[mm] |R_{3,0}(x)| \le\frac{1}{24}x^4
[/mm]
Jetz bestimme die x mit
[mm] \frac{1}{24}x^4< \frac{1}{12}10^{-6} [/mm]
FRED
>
> Würde mich über eine Idee freuen,
> Grüße,
> Micha
>
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>
> Es ist doch
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> [mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]
>
> also
>
> [mm]|R_{3,0}(x)| \le\frac{1}{24}x^4[/mm]
Wie komme ich darauf?
Woher kommt :
[mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]
>
> Jetz bestimme die x mit
>
> [mm]\frac{1}{24}x^4< \frac{1}{12}10^{-6}[/mm]
>
> FRED
>
Könnt ihr mir dies bitte etwas genauer erklären?
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Hallo,
> >
> > Es ist doch
> >
> > [mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]
> >
> > also
> >
> > [mm]|R_{3,0}(x)| \le\frac{1}{24}x^4[/mm]
>
> Wie komme ich darauf?
> Woher kommt :
> [mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]
Gucke hier: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Taylor-Formel
und auch unter dem Abschnitt "Restgliedformeln".
Die allgemeine Formel für das Restglied lautet (für Funktion f, Entwicklungspunkt a)
[mm] $R_n(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}$,
[/mm]
Zwischenstelle [mm] $\xi$ [/mm] zwischen x und a.
Wir nutzen hier n = 3, weil wir f mit einem Polynom 3. Ordnung approximieren.
$f(x) = [mm] \sin(x)$.
[/mm]
$a = 0$ (siehe Aufgabe Entwicklungspunkt)
Das Problem bei solchen Restgliedformeln ist normalerweise, dass man das [mm] $\xi$ [/mm] nicht kennt und daher nicht weiß, an welcher Stelle man die $(n+1)$-te Ableitung von $f$ auswerten soll. Hier ist es nun aber so, dass [mm] $f^{(n+1)}(\xi) = \sin(\xi)$ [/mm] ist und wir das einfach beschränken können.
Viele Grüße,
Stefan
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(wieder ein mal 
