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| Aufgabe | | Wie gut ist die Näherung [mm]T_{2}(x)[/mm] für [mm]x \in \left[1.5, 2.5\right][/mm] ? Es ist [mm]f^{(3)}(x) = -6 * \frac{1}{x^{4}}[/mm]. |
Hey liebe Community,
ich habe ein kleines Verständnisproblem bei dem Restglied der Taylorreihe. Ich habe in meinem Script das oben beschriebene Beispiel stehen und dazu den folgenden Lösungsweg gegeben:
[mm]\left|f(x) - T_{2}(x)\right| = \left|\frac{1}{3!}*6*\frac{1}{\nu^{4}}*(x-2)^3\right| \le \frac{1}{1.5^3}*\left(\frac{1}{2}\right)^3 \le 0.025[/mm]
Leider habe ich mal wieder einen absoluten Hänger und verstehe einfach nicht, wie man darauf kommt, dass [mm]\nu = 1.5[/mm] ist. Schließe ich außerdem richtig aus [mm]\left(\frac{1}{2}\right)^3[/mm], dass [mm]x[/mm] gleich dem Maximum des Intervalles [mm]\left[1.5, 2.5\right][/mm] ist? Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
Vielen Dank,
Tim
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Hallo NichtExistent,
> Wie gut ist die Näherung [mm]T_{2}(x)[/mm] für [mm]x \in \left[1.5, 2.5\right][/mm]
> ? Es ist [mm]f^{(3)}(x) = -6 * \frac{1}{x^{4}}[/mm].
> Hey liebe
> Community,
>
> ich habe ein kleines Verständnisproblem bei dem Restglied
> der Taylorreihe. Ich habe in meinem Script das oben
> beschriebene Beispiel stehen und dazu den folgenden
> Lösungsweg gegeben:
>
> [mm]\left|f(x) - T_{2}(x)\right| = \left|\frac{1}{3!}*6*\frac{1}{\nu^{4}}*(x-2)^3\right| \le \frac{1}{1.5^3}*\left(\frac{1}{2}\right)^3 \le 0.025[/mm]
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> Leider habe ich mal wieder einen absoluten Hänger und
> verstehe einfach nicht, wie man darauf kommt, dass [mm]\nu = 1.5[/mm]
> ist. Schließe ich außerdem richtig aus
> [mm]\left(\frac{1}{2}\right)^3[/mm], dass [mm]x[/mm] gleich dem Maximum des
> Intervalles [mm]\left[1.5, 2.5\right][/mm] ist? Ich hoffe ihr könnt
> mir weiter helfen.
[mm]\vmat{f^{\left(3\right)}\left(\nu\right)}={\bruch{6}{\nu^{4}}}[/mm] ist dann am größten, wenn [mm]\nu[/mm] am kleinsten ist.
Hier gilt demnach [mm]\vmat{f^{\left(3\right)}\left(\nu\right)}=\bruch{6}{\nu^{4}}\le \bruch{6}{\left(1.5\right)^{4}}[/mm]
Da der Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=2[/mm] ist,
ist die maximale Differenz [mm]\vmat{x-2}=\vmat{1.5-2}=\vmat{2.5-2}=\bruch{1}{2}[/mm]
Daher gilt:
[mm]{\vmat{f\left(x\right)-T_{2}\left(x\right)}}=\vmat{{\bruch{1}{3!}}*{\bruch{6}{\nu^{4}}}*\left(x-2\right)^{3}} \le \bruch{1}{1.5^{4}}*\bruch{1}{2^{3}} = \bruch{2}{3^{4}}=\bruch{2}{81} < \bruch{1}{40} = 0.025[/mm]
>
>
> Vielen Dank,
> Tim
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
also ich fasse noch mal zusammen um zu gucken ob ich es richtig verstanden habe: Ich muss [mm]\nu[/mm] so wählen, dass der Ausdruck [mm]\left|f^{n+1}(\nu)\right|[/mm] am größten wird (unter Beachtung des angegebenen Intervalls). Diesen Wert verwende ich dann auch für [mm]x[/mm]. Stimmts?
Grüße,
Tim
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Hallo NichtExistent,
> Hallo MathePower,
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> also ich fasse noch mal zusammen um zu gucken ob ich es
> richtig verstanden habe: Ich muss [mm]\nu[/mm] so wählen, dass der
> Ausdruck [mm]\left|f^{n+1}(\nu)\right|[/mm] am größten wird (unter
> Beachtung des angegebenen Intervalls). Diesen Wert verwende
> ich dann auch für [mm]x[/mm]. Stimmts?
>
Es ist richtig, daß [mm]\vmat{f^{n+1}\left(\nu\right)}[/mm] so abgeschätzt werden muß, daß dieser Ausdruck am größten wird.
Weiterhin ist das x so zu wählen, daß [mm]\vmat{x-x_{0}}[/mm] ebenfalls am größten wird. [mm]x_{0}[/mm] ist der Entwicklungspunkt.
> Grüße,
> Tim
Gruß
MathePower
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Hey MathePower,
ok, jetzt hab ich es verstanden. Vielen Dank!
Grüße,
Tim
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