Restglied nach Lagrange < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 22.11.2006 | | Autor: | cardia |
| Aufgabe | Berechnung der Eulerschen Zahl e
[mm]Rn(x)= \bruch {f^{(n+1)}( \delta x)} {(n+1)!} x^{n+1} = \bruch {e^{ \delta x}} {(n+1)!} x^{n+1} (0 < \delta < 1)[/mm]
Beispiel aus Lothar Papula - Mathematik für Ingenieuere und Naturwissenschaftler Band 1 (9. Auflage) Seite 569
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Wer kann mir sagen wie man darauf kommt.
Was wurde hier für [mm] \delta [/mm] eingesetzt?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Cardia,
ich habe das Buch jetzt nicht da, aber allein weil da [mm] (\red{\delta}x) [/mm] steht, gehe ich davon aus, dass [mm] \delta [/mm] beliebig gewählt werden kann in den Grenzen [mm] 0<\delta<1:
[/mm]
[mm] \integral{e^{\delta x}\ d(\delta x)}=e^{\delta x}
[/mm]
Ich schaue aber nachher nochmal nach und verbessere, wenn nötig - oder brauchst du das heute unbedingt?
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Do 23.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das war ja wohl gestern nicht so ganz die erwartete Antwort, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
das, im Papula angegebene [mm] \delta [/mm] ergibt sich aus der Restgliedabschätzung.
Erst einmal das Formale.
Sei [mm] A:=\summe_{k=0}^\infty{a_k} [/mm] eine konvergente Reihe mit dem Summenwert s, dann ist
[mm] \summe_{k=0}^\infty{a_k}=\summe_{k=0}^n{a_k}+\summe_{k=n+1}^\infty{a_k}
[/mm]
oder auch
[mm] s=s_n+r_n\quad \Rightarrow\quad r_n=s-s_n\quad (\limes_{n\rightarrow\infty}r_n=0)
[/mm]
das zum Einstieg 
Eine Funktion f(x) kann ja um einen beliebigen Punkt [mm] x\in(x_0-a;x_0+a) [/mm] in eine Taylorreihe [mm] T_n [/mm] entwickelt werden, wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind (z.B. dass f(x): (n+1) mal im Intervall differenzierbar ist). Ich beschränke mich dabei nur auf x>a.
[mm] T_n:=\summe_{k=0}^n{\bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)}
[/mm]
mit
[mm] R_n:=\bruch{f^{(n+1)}(\mathcal{\epsilon})}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}\quad [/mm] $fuer\ ein$ [mm] x<\mathcal{\epsilon}
so, nun haben wir auch noch so ein [mm] \mathcal{\epsilon} [/mm] da drin
des Rätsels Lösung besteht darin, dass auch das Restglied konvergent sein muss, unserer Reihe [mm] T_n [/mm] aber eigentlich nur bis n geht und wir das Restglied irgendwie abschätzen müssen und das geht so:
es ist [mm] \mathcal{\epsilon} [/mm] beliebig, aber kleiner als x bzw. [mm] x_0 [/mm] , je nachdem von welcher Seite aus man kommt. Das heißt aber z.B.:
[mm] |\mathcal{\epsilon}|<|x| [/mm]
und wie bekomme ich mein x verkleinert? -- -- na so:
[mm] |\mathcal{\epsilon}|=\delta*|x|<|x|\quad [/mm] für [mm] 0<\delta<1
[/mm]
Alles klar?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Do 23.11.2006 | | Autor: | cardia |
Hallo Herby!
Danke vorerst für Deine schnelle Antwort.
Ich werde mir diese mal vertiefen und mich ggfs. nochmal melden, wenn ich Schwierigkeiten haben sollte.
Danke Danke Danke!
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