Restklassenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Do 24.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | | Zeige: Sei R ein kommutativer Ring mit dem Einselement 1 und I ein Ideal von R, dann ist [mm] R/I:={a+I:a\in R} [/mm] unter der Addition (a+I)+(b+I)=(a+b)+I und der Mutliplikation (a+I)*(b+I)=ab+I ein Ring (sogenannte Restklassenring). |
1. Reicht es hier zz, dass R/I ein Teilring von R ist.
2. Außerdem habe ich hier ein paar verschiedene Def. von den Bed. für Teilringe. In einigen Def. braucht der Teilring das Einselement des Ringes, in anderen Def. braucht er es aber nicht. Das wiederum würde aber bedeuten, dass z.B. [mm] 2\IZ [/mm] ein Teilring von [mm] \IZ [/mm] wäre, soweit ich abr weiss, ist das kein Ring.
2.1 Welche Bed. muss ein Teilring erfüllen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: Sei R ein kommutativer Ring mit dem Einselement 1
> und I ein Ideal von R, dann ist [mm]R/I:={a+I:a\in R}[/mm] unter der
> Addition (a+I)+(b+I)=(a+b)+I und der Mutliplikation
> (a+I)*(b+I)=ab+I ein Ring (sogenannte Restklassenring).
>
> 1. Reicht es hier zz, dass R/I ein Teilring von R ist.
Unfug ! R/I ist keine Teilmenge von R, es sei denn I ist das Nullideal.
>
> 2. Außerdem habe ich hier ein paar verschiedene Def. von
> den Bed. für Teilringe. In einigen Def. braucht der
> Teilring das Einselement des Ringes, in anderen Def.
> braucht er es aber nicht.
Schau Dir ![[]](/images/popup.gif) das an
FRED
> Das wiederum würde aber
> bedeuten, dass z.B. [mm]2\IZ[/mm] ein Teilring von [mm]\IZ[/mm] wäre, soweit
> ich abr weiss, ist das kein Ring.
>
> 2.1 Welche Bed. muss ein Teilring erfüllen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Do 24.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
> Unfug ! R/I ist keine Teilmenge von R, es sei denn I ist
> das Nullideal.
> >
Das versteh ich leider nicht so ganz, ich scheine die Def. von R/I nicht ganz verstanden zu haben.
R/I:={a+I [mm] :a\in [/mm] R}
und sowohl [mm] I\subseteq [/mm] R
als auch [mm] a\in [/mm] R.
Für mich folgt dann sofort aus der Ringeigenschaft von R, dass auch [mm] a+I\in [/mm] R.
> Schau Dir
> das an
>
> FRED
ok, habs mir angeschaut, verstehe dies hier leider aber auch nicht so ganz,
wenn die Bed. für einen Teilring zulassen, dass nZ ein Teilring von Z ist, dann sind die Bed. doch nicht hinreichend, da nZ kein mult. neutrales element hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Unfug ! R/I ist keine Teilmenge von R, es sei denn I ist
> > das Nullideal.
> > >
>
> Das versteh ich leider nicht so ganz, ich scheine die Def.
> von R/I nicht ganz verstanden zu haben.
> R/I:={a+I [mm]:a\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R}
> und sowohl [mm]I\subseteq[/mm] R
> als auch [mm]a\in[/mm] R.
> Für mich folgt dann sofort aus der Ringeigenschaft von R,
> dass auch [mm]a+I\in[/mm] R.
Ich schau in einen Abgrund ! a+I ist eine Menge ! Das hatten wir doch gestern hier
https://www.vorhilfe.de/read?t=780175
schon !!!
>
>
> > Schau Dir
> >
> das an
>
> >
> > FRED
>
> ok, habs mir angeschaut, verstehe dies hier leider aber
> auch nicht so ganz,
> wenn die Bed. für einen Teilring zulassen, dass nZ ein
> Teilring von Z ist, dann sind die Bed. doch nicht
> hinreichend, da nZ kein mult. neutrales element hat.
Könntest Du das in einem verständlichen Satz nochmal sagen ?
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 24.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
> a+I ist eine Menge !
ohja stimmt, sorry für die dummen Fragen, sah den Wald vor lauter bäumen nicht.
> > ok, habs mir angeschaut, verstehe dies hier leider aber
> > auch nicht so ganz,
> > wenn die Bed. für einen Teilring zulassen, dass nZ ein
> > Teilring von Z ist, dann sind die Bed. doch nicht
> > hinreichend, da nZ kein mult. neutrales element hat.
>
> Könntest Du das in einem verständlichen Satz nochmal
> sagen ?
>
> FRED
Sei R ein Ring und nach manchen Def. wird von einem teilring S nur verlangt:
-S ist eine teilmenge von R
-abgeschlossen bzgl. +
-abgeschlossen bzgl. *
-Es gibt ein mult. inverses Element
-Es gibt ein add. inverses Element
dann ist 2Z ein Teilring von Z.
Aber 2Z hat kein mult. neutrales Element, ist also nicht mal ein Ring.
Aber soll nach dieser Def ein teilring sein
Wie passt das zusammen?
Bitte nicht gleich draufhauen, ich will es nur wirklich verstehen, stell mich nur vllt ein bisschen dumm an.
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
Schau Dir das an
und lies auch was auf Seite 137 steht unter "Vorsicht"
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 24.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
versteh ich das dann im Buch richtig, dass ein Teilring S von einem Ring R nicht zwangsläufig selbst ein Ring sein muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Do 24.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> versteh ich das dann im Buch richtig, dass ein Teilring S
> von einem Ring R nicht zwangsläufig selbst ein Ring sein
> muss?
doch, ein Teilring eines Rings ist immer wieder ein Ring. Du hast weiter oben einfach die Definition eines Teilrings falsch aufgeschrieben. Dieser muss keine multiplikativen Inversen enthalten. Wie soll denn das gehen, wenn ein Ring selbst im Allgemeinen keine solchen enthält?
Aber wie Fred bereits geschrieben hat ist [mm] $R/I\:$ [/mm] kein Teilring von [mm] $R\:$. [/mm] Er ist nichtmal eine Teilmenge, da [mm] $R/I\:$ [/mm] aus Mengen von Elementen aus [mm] $R\:$ [/mm] besteht, oder genauer gesagt Klassen. Zwei Elemente $x,y [mm] \in [/mm] R$ sind in einer solchen Klassen, wenn sie bezüglich der Äquivalenzrelation $x [mm] \equiv [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in [/mm] I$ äquivalent sind. [mm] $I\:$ [/mm] ist dabei ein Ideal in [mm] $R\:$. [/mm] Ich hoffe du weißt was das ist, mach dir insbesondere den Unterschied zwischen Idealen in Ringen und Unterringen klar.
Also: mal an einem Beispiel. [mm] $2\IZ$ [/mm] ist ein Ideal in [mm] $\IZ$, [/mm] d.h. wir können den Restklassenring [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] betrachten (das es sich bei so etwas wieder um einen Ring handelt ist genau das, was du in der Aufgabe zeigen sollst). Nun ist bespielsweise $2 [mm] \equiv [/mm] 0$, denn $2-0 = 2$ liegt in [mm] $2\IZ$, [/mm] aber $2 [mm] \not\equiv [/mm] 1$, denn $2-1 = 1 [mm] \not\in 2\IZ$. [/mm] Mach dir klar, dass der Restklassenring [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] nur zwei Elemente, nämlich [mm] $0+2\IZ$ [/mm] und [mm] $1+2\IZ$ [/mm] enthält. Man nennt dann -1, 3, 7, 135 usw. Vertreter der Klasse [mm] $1+2\IZ$ [/mm] und $0, -6, 8, 1032$ usw. Vertreter der Klasse [mm] $2\IZ$, [/mm] d.h. es gilt [mm] $-1+2\IZ [/mm] = [mm] 3+2\IZ [/mm] = [mm] 7+2\IZ [/mm] = 135 + [mm] 2\IZ= 1+2\IZ$. [/mm] Mach dir klar warum das gilt.
So, nun zur Aufgabe. Bevor du die Ringeigenschaften nachrechnen kannst, musst du zuerst zeigen, dass die beiden in der Aufgabenstellung defnierten Verknüpfungen auf [mm] $R/I\:$ [/mm] wohldefniert sind, d.h. du musst zeigen, dass das Ergebnis einer Addition/Multiplikation nicht abhängt vom Vertreter, den du jeweils aus der Restklasse wählst.
Ich zeige es dir mal für die Addition, dann kannst du dich ander Multiplikation versuchen:
Seien $a, a', b, b' [mm] \in [/mm] R$ mit $a+I=a'+I, b+I=b'+I$. D.h. wir haben zwei Äquivalenzklassen mit jeweils zwei Vertetern. Zu zeigen ist nun: $(a+I)+(b+I) = (a'+I)+(b'+I)$.
Wir wissen aber aufgrund der Defnintion des Restklassenringes über die Äquivalenzrelation, wie ich es oben aufgeschrieben habe, dass $a-a' [mm] \in [/mm] I$ und $b-b' [mm] \in [/mm] I$, d.h. es gibt $p,q [mm] \in [/mm] I: a-a'=p$ und $b-b'=q [mm] \Rightarrow [/mm] a=a'+p, b=b'+q$
Damit gilt dann: $(a+I)+(b+I) = a+b+I = a'+p+b'+q+I = a'+b'+(p+q+I) = a'+b'+I = (a'+I)+(b'+I)$.
Damit ist dann die Wohldefiniertheit der Addition gezeigt.
Jetzt darfst du weiter machen
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Fr 25.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
> Hallo,
>
> > versteh ich das dann im Buch richtig, dass ein Teilring S
> > von einem Ring R nicht zwangsläufig selbst ein Ring sein
> > muss?
>
> doch, ein Teilring eines Rings ist immer wieder ein Ring.
ok, http://www.mathepedia.de/Teilringe.aspx , hier steht [mm] n\IZ [/mm] ist ein Unterring, aber für die meisten n hat [mm] n\IZ [/mm] keine multip. neutralen Elemente.
Wie können sie dann die Ringaxiome erfüllen?
> Du hast weiter oben einfach die Definition eines Teilrings
> falsch aufgeschrieben. Dieser muss keine multiplikativen
> Inversen enthalten. Wie soll denn das gehen, wenn ein Ring
> selbst im Allgemeinen keine solchen enthält?
oh sorry, hab das mit dem multiplikativen Inversen reflexartig dazu geschrieben, natürlich hat ein Ring das nicht ungbedingt.
Ring: (R,+) abelsche Gruppe, (R,*) Monoid, Distributivgesetz
Ideal: [mm] I\subseteq [/mm] R, [mm] I\not= \emptyset, [/mm] I+I=I, IR=RI=I
Teilring: [mm] S\subseteq [/mm] R, S Ring
> Aber wie Fred bereits geschrieben hat ist [mm]R/I\:[/mm] kein
> Teilring von [mm]R\:[/mm]. Er ist nichtmal eine Teilmenge, da [mm]R/I\:[/mm]
> aus Mengen von Elementen aus [mm]R\:[/mm] besteht, oder genauer
> gesagt Klassen. Zwei Elemente [mm]x,y \in R[/mm] sind in einer
> solchen Klassen, wenn sie bezüglich der
> Äquivalenzrelation [mm]x \equiv y \gdw x-y \in I[/mm] äquivalent
> sind. [mm]I\:[/mm] ist dabei ein Ideal in [mm]R\:[/mm]. Ich hoffe du weißt
> was das ist, mach dir insbesondere den Unterschied zwischen
> Idealen in Ringen und Unterringen klar.
Das weiss ich nicht genau, ich würde nur tippen, dass ein Ideal von einem Unterring zwar immer auch ein Ideal von Unterring ist, aber umgekehrt muss das nicht umbedingt gelten.
>
> Also: mal an einem Beispiel. [mm]2\IZ[/mm] ist ein Ideal in [mm]\IZ[/mm],
> d.h. wir können den Restklassenring [mm]\IZ/2\IZ[/mm] betrachten
> (das es sich bei so etwas wieder um einen Ring handelt ist
> genau das, was du in der Aufgabe zeigen sollst). Nun ist
> bespielsweise [mm]2 \equiv 0[/mm], denn [mm]2-0 = 2[/mm] liegt in [mm]2\IZ[/mm], aber
> [mm]2 \not\equiv 1[/mm], denn [mm]2-1 = 1 \not\in 2\IZ[/mm]. Mach dir klar,
> dass der Restklassenring [mm]\IZ/2\IZ[/mm] nur zwei Elemente,
> nämlich [mm]0+2\IZ[/mm] und [mm]1+2\IZ[/mm] enthält. Man nennt dann -1, 3,
> 7, 135 usw. Vertreter der Klasse [mm]1+2\IZ[/mm] und [mm]0, -6, 8, 1032[/mm]
> usw. Vertreter der Klasse [mm]2\IZ[/mm], d.h. es gilt [mm]-1+2\IZ = 3+2\IZ = 7+2\IZ = 135 + 2\IZ= 1+2\IZ[/mm].
> Mach dir klar warum das gilt.
>
Weil es ein [mm] i\in 2\IZ [/mm] gibt mit: 3+i=7
> So, nun zur Aufgabe. Bevor du die Ringeigenschaften
> nachrechnen kannst, musst du zuerst zeigen, dass die beiden
> in der Aufgabenstellung defnierten Verknüpfungen auf [mm]R/I\:[/mm]
> wohldefniert sind, d.h. du musst zeigen, dass das Ergebnis
> einer Addition/Multiplikation nicht abhängt vom Vertreter,
> den du jeweils aus der Restklasse wählst.
>
> Ich zeige es dir mal für die Addition, dann kannst du dich
> ander Multiplikation versuchen:
> Seien [mm]a, a', b, b' \in R[/mm] mit [mm]a+I=a'+I, b+I=b'+I[/mm]. D.h. wir
> haben zwei Äquivalenzklassen mit jeweils zwei Vertetern.
> Zu zeigen ist nun: [mm](a+I)+(b+I) = (a'+I)+(b'+I)[/mm].
> Wir wissen
> aber aufgrund der Defnintion des Restklassenringes über
> die Äquivalenzrelation, wie ich es oben aufgeschrieben
> habe, dass [mm]a-a' \in I[/mm] und [mm]b-b' \in I[/mm], d.h. es gibt [mm]p,q \in I: a-a'=p[/mm]
> und [mm]b-b'=q \Rightarrow a=a'+p, b=b'+q[/mm]
> Damit gilt dann:
> [mm](a+I)+(b+I) = a+b+I = a'+p+b'+q+I = a'+b'+(p+q+I) = a'+b'+I = (a'+I)+(b'+I)[/mm].
>
> Damit ist dann die Wohldefiniertheit der Addition gezeigt.
>
> Jetzt darfst du weiter machen
Seien [mm]a, a', b, b' \in R[/mm] mit [mm]a+I=a'+I, b+I=b'+I[/mm].
Zu zeigen: [mm](a+I)*(b+I) = (a'+I)*(b'+I)[/mm].
Es gilt:
[mm]a-a' \in I[/mm] und [mm]b-b' \in I[/mm], d.h. es gibt [mm]p,q \in I: a-a'=p[/mm] und [mm]b-b'=q \Rightarrow a=a'+p, b=b'+q[/mm]
Damit gilt dann:
[mm](a+I)*(b+I) = ab+I = (a'+p)*(b'+q)+I = a'b'+pq+a'q+b'p+I = a'b'+I = (a'+I)*(b'+I)[/mm].
Damit ist auch die Wohldefiniertheit der Multiplikation gezeigt.
Zuletzt bleibt zu zeigen, dass R/I die Ringaxiome erfüllt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Moin,
> > Hallo,
> >
> > > versteh ich das dann im Buch richtig, dass ein Teilring S
> > > von einem Ring R nicht zwangsläufig selbst ein Ring sein
> > > muss?
> >
> > doch, ein Teilring eines Rings ist immer wieder ein Ring.
>
> ok, http://www.mathepedia.de/Teilringe.aspx , hier steht
> [mm]n\IZ[/mm] ist ein Unterring, aber für die meisten n hat [mm]n\IZ[/mm]
> keine multip. neutralen Elemente.
> Wie können sie dann die Ringaxiome erfüllen?
Ringe enthalten nach der allgemeinsten Definition kein neutrales Element bzgl. der Multiplikation. Ringe die ein solches doch besitzen, heißen Ringe mit 1. [mm] $\IZ$ [/mm] ist also Ring mit 1, [mm] $2\IZ$ [/mm] nicht.
Wenn bei euch in der Vorlesung Ringe immer mit 1 definiert wurde, ist [mm] $2\IZ" [/mm] kein Ring.
>
> > Du hast weiter oben einfach die Definition eines Teilrings
> > falsch aufgeschrieben. Dieser muss keine multiplikativen
> > Inversen enthalten. Wie soll denn das gehen, wenn ein Ring
> > selbst im Allgemeinen keine solchen enthält?
>
> oh sorry, hab das mit dem multiplikativen Inversen
> reflexartig dazu geschrieben, natürlich hat ein Ring das
> nicht ungbedingt.
>
> Ring: (R,+) abelsche Gruppe, (R,*) Monoid,
> Distributivgesetz
> Ideal: [mm]I\subseteq[/mm] R, [mm]I\not= \emptyset,[/mm] I+I=I, IR=RI=I
> Teilring: [mm]S\subseteq[/mm] R, S Ring
>
> > Aber wie Fred bereits geschrieben hat ist [mm]R/I\:[/mm] kein
> > Teilring von [mm]R\:[/mm]. Er ist nichtmal eine Teilmenge, da [mm]R/I\:[/mm]
> > aus Mengen von Elementen aus [mm]R\:[/mm] besteht, oder genauer
> > gesagt Klassen. Zwei Elemente [mm]x,y \in R[/mm] sind in einer
> > solchen Klassen, wenn sie bezüglich der
> > Äquivalenzrelation [mm]x \equiv y \gdw x-y \in I[/mm] äquivalent
> > sind. [mm]I\:[/mm] ist dabei ein Ideal in [mm]R\:[/mm]. Ich hoffe du weißt
> > was das ist, mach dir insbesondere den Unterschied zwischen
> > Idealen in Ringen und Unterringen klar.
>
> Das weiss ich nicht genau, ich würde nur tippen, dass ein
> Ideal von einem Unterring zwar immer auch ein Ideal von
> Unterring ist, aber umgekehrt muss das nicht umbedingt
> gelten.
Schau dir halt die Definition eines Ideals an. Dieses muss auch abgeschlossen bezüglich der Addition sein. Bei der Multiplikation ist der Unterschied, dass auch Elemente $ra, r [mm] \in [/mm] R, a [mm] \in [/mm] I$ immer wieder in I liegen muss. Ein Ideal ist also nicht nur abgeschlossen bezüglich Multiplikation zwischen Elemente des Ideals, sondern auch bezüglich Multiplikation mit einem Ringelement, das nicht im Ideal liegt.
>
> >
> > Also: mal an einem Beispiel. [mm]2\IZ[/mm] ist ein Ideal in [mm]\IZ[/mm],
> > d.h. wir können den Restklassenring [mm]\IZ/2\IZ[/mm] betrachten
> > (das es sich bei so etwas wieder um einen Ring handelt ist
> > genau das, was du in der Aufgabe zeigen sollst). Nun ist
> > bespielsweise [mm]2 \equiv 0[/mm], denn [mm]2-0 = 2[/mm] liegt in [mm]2\IZ[/mm], aber
> > [mm]2 \not\equiv 1[/mm], denn [mm]2-1 = 1 \not\in 2\IZ[/mm]. Mach dir klar,
> > dass der Restklassenring [mm]\IZ/2\IZ[/mm] nur zwei Elemente,
> > nämlich [mm]0+2\IZ[/mm] und [mm]1+2\IZ[/mm] enthält. Man nennt dann -1, 3,
> > 7, 135 usw. Vertreter der Klasse [mm]1+2\IZ[/mm] und [mm]0, -6, 8, 1032[/mm]
> > usw. Vertreter der Klasse [mm]2\IZ[/mm], d.h. es gilt [mm]-1+2\IZ = 3+2\IZ = 7+2\IZ = 135 + 2\IZ= 1+2\IZ[/mm].
> > Mach dir klar warum das gilt.
> >
> Weil es ein [mm]i\in 2\IZ[/mm] gibt mit: 3+i=7
Genau.
>
> > So, nun zur Aufgabe. Bevor du die Ringeigenschaften
> > nachrechnen kannst, musst du zuerst zeigen, dass die beiden
> > in der Aufgabenstellung defnierten Verknüpfungen auf [mm]R/I\:[/mm]
> > wohldefniert sind, d.h. du musst zeigen, dass das Ergebnis
> > einer Addition/Multiplikation nicht abhängt vom Vertreter,
> > den du jeweils aus der Restklasse wählst.
> >
> > Ich zeige es dir mal für die Addition, dann kannst du dich
> > ander Multiplikation versuchen:
> > Seien [mm]a, a', b, b' \in R[/mm] mit [mm]a+I=a'+I, b+I=b'+I[/mm]. D.h.
> wir
> > haben zwei Äquivalenzklassen mit jeweils zwei Vertetern.
> > Zu zeigen ist nun: [mm](a+I)+(b+I) = (a'+I)+(b'+I)[/mm].
> > Wir
> wissen
> > aber aufgrund der Defnintion des Restklassenringes über
> > die Äquivalenzrelation, wie ich es oben aufgeschrieben
> > habe, dass [mm]a-a' \in I[/mm] und [mm]b-b' \in I[/mm], d.h. es gibt [mm]p,q \in I: a-a'=p[/mm]
> > und [mm]b-b'=q \Rightarrow a=a'+p, b=b'+q[/mm]
> > Damit gilt
> dann:
> > [mm](a+I)+(b+I) = a+b+I = a'+p+b'+q+I = a'+b'+(p+q+I) = a'+b'+I = (a'+I)+(b'+I)[/mm].
>
> >
> > Damit ist dann die Wohldefiniertheit der Addition gezeigt.
> >
> > Jetzt darfst du weiter machen
>
> Seien [mm]a, a', b, b' \in R[/mm] mit [mm]a+I=a'+I, b+I=b'+I[/mm].
> Zu zeigen: [mm](a+I)*(b+I) = (a'+I)*(b'+I)[/mm].
> Es gilt:
> [mm]a-a' \in I[/mm] und [mm]b-b' \in I[/mm], d.h. es gibt [mm]p,q \in I: a-a'=p[/mm]
> und [mm]b-b'=q \Rightarrow a=a'+p, b=b'+q[/mm]
> Damit gilt dann:
> [mm](a+I)*(b+I) = ab+I = (a'+p)*(b'+q)+I = a'b'+pq+a'q+b'p+I = a'b'+I = (a'+I)*(b'+I)[/mm].
>
> Damit ist auch die Wohldefiniertheit der Multiplikation
> gezeigt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber ist dir der vorletzte Schritt auch wirklich klar? Warum darf man das?
>
> Zuletzt bleibt zu zeigen, dass R/I die Ringaxiome erfüllt.
Ja, lg Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Fr 25.03.2011 | | Autor: | diddy449 |
Achsoooooo, jetzt wird einiges klarer
> Ringe enthalten nach der allgemeinsten Definition kein
> neutrales Element bzgl. der Multiplikation. Ringe die ein
> solches doch besitzen, heißen Ringe mit 1. [mm]\IZ[/mm] ist also
> Ring mit 1, [mm]2\IZ[/mm] nicht.
> Wenn bei euch in der Vorlesung Ringe immer mit 1 definiert
> wurde, ist [mm]$2\IZ"[/mm] kein Ring.
Jetzt ist der Groschen entgültig gefallen, ich hatte gar nicht in betracht gezogen, dass es verschiedene Definitionen von Ringen geben könnte. Ich dachte die ganze Zeit, dass es halt nur verschiedene Teilringtests gibt, um zu prüfen, ob eine teilmenge von einem Ring ein Teilring ist. Hab mich dann immer gewundert, dass es tests gibt, bei denen nach keinem neutralem Element bzgl. der Mutliplikation gefragt wird, obwohl ein Ring nach meiner bekannten Definition dies immer haben muss.
Aber dann ist das jetzt klar.
> > mach dir insbesondere den Unterschied zwischen
> > Idealen in Ringen und Unterringen klar.
> Schau dir halt die Definition eines Ideals an. Dieses muss
> auch abgeschlossen bezüglich der Addition sein. Bei der
> Multiplikation ist der Unterschied, dass auch Elemente [mm]ra, r \in R, a \in I[/mm]
> immer wieder in I liegen muss. Ein Ideal ist also nicht nur
> abgeschlossen bezüglich Multiplikation zwischen Elemente
> des Ideals, sondern auch bezüglich Multiplikation mit
> einem Ringelement, das nicht im Ideal liegt.
>
Aso ok, das ist mir klar.
Hatte die Frage falsch verstanden, dachte ich soll mir den Unterschied zwischen Idealen in Ringen und Idealen in Unterringen klar machen.
> > [mm](a+I)*(b+I) = ab+I = (a'+p)*(b'+q)+I = a'b'+pq+a'q+b'p+I = a'b'+I = (a'+I)*(b'+I)[/mm].
> Aber ist dir der vorletzte Schritt auch wirklich klar?
> Warum darf man das?
[mm] p,q\in I\subseteq [/mm] R,
[mm] a',b'\in [/mm] R,
IR=RI=I
[mm] \Rightarrow pq,a'q,b'p\in [/mm] I
Vielen Dank für die Geduld von allen Beteiligten, dann haben ich das endlich gecheckt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Moin,
> [mm]p,q\in I\subseteq[/mm] R,
> [mm]a',b'\in[/mm] R,
> IR=RI=I
> [mm]\Rightarrow pq,a'q,b'p\in[/mm] I
Genau.
LG Lippel
|
|
|
|
