Restklassenring in 2 Variablen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Wir betrachten den Polynomring in 2 Variablen [mm]K\left[ X,Y\right]=K\left[ X\right]\left[ Y\right][/mm] und den Restklassenring [mm]R=K\left[ X,Y\right] / (XY^2)[/mm]. Wir bezeichnen mit [mm]\bar X[/mm] bzw. [mm]\bar Y[/mm] die Restklasse von X bzw. Y. Zeigen Sie:
a) Die Elemente[mm]\bar X[/mm] und [mm]\bar X +\bar X \bar Y}[/mm] sind nicht assoziiert
b) Es gilt aber [mm](\bar X )=(\bar X +\bar X \bar Y})[/mm] |
Hallo!
Also die b) habe ich hin bekommen, es gilt ja [mm]\bar X*(\bar 1 + \bar Y)=\bar X +\bar X \bar Y[/mm] und somit [mm]\bar X[/mm] teilt [mm]\bar X + \bar X \bar Y[/mm], also [mm](\bar X + \bar X \bar Y)\subset (\bar X)[/mm]. Umgekehrt ist [mm](\bar 1 -\bar Y)*(\bar X + \bar X \bar Y)=(\bar X + \bar X \bar Y - \bar X \bar Y - \bar X \bar Y^2)=\bar X[/mm], weil [mm]\bar X \bar Y^2\equiv \bar 0[/mm] im Restklassenring. Also [mm]\bar X + \bar X \bar Y[/mm] teilt [mm]\bar X[/mm] und [mm](\bar X + \bar X \bar Y)\supset (\bar X)[/mm].
Für die a) müsste ich ja zeigen, daß es keine Einheiten [mm]e[/mm] im Restklassenring gibt, sodaß [mm]\bar X + \bar X \bar Y =e*\bar X[/mm]. ich weiß aber leider nicht wie die Einheiten "aussehen", daß sind ja nicht nur die Einheiten aus K. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke und Grüße
couldbeworse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 10.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K ein Körper. Wir betrachten den Polynomring in 2
> Variablen [mm]K\left[ X,Y\right]=K\left[ X\right]\left[ Y\right][/mm]
> und den Restklassenring [mm]R=K\left[ X,Y\right] / (XY^2)[/mm]. Wir
> bezeichnen mit [mm]\bar X[/mm] bzw. [mm]\bar Y[/mm] die Restklasse von X bzw.
> Y. Zeigen Sie:
>
> a) Die Elemente[mm]\bar X[/mm] und [mm]\bar X +\bar X \bar Y}[/mm] sind nicht
> assoziiert
>
> b) Es gilt aber [mm](\bar X )=(\bar X +\bar X \bar Y})[/mm]
> Hallo!
>
> Also die b) habe ich hin bekommen, es gilt ja [mm]\bar X*(\bar 1 + \bar Y)=\bar X +\bar X \bar Y[/mm]
> und somit [mm]\bar X[/mm] teilt [mm]\bar X + \bar X \bar Y[/mm], also [mm](\bar X + \bar X \bar Y)\subset (\bar X)[/mm].
Vorsicht! Du hast hier keinen Integritaetsring. Es ist also gefaehrlich, mit Teilbarkeiten zu argumentieren.
Die Beziehung $a [mm] \cdot [/mm] b = c [mm] \Rightarrow [/mm] (c) [mm] \subseteq [/mm] (b), (a)$ gilt jedoch trotzdem. Wenn du also den "teilt"-Teil weglaesst, stimmt es trotzdem.
> Umgekehrt ist [mm](\bar 1 -\bar Y)*(\bar X + \bar X \bar Y)=(\bar X + \bar X \bar Y - \bar X \bar Y - \bar X \bar Y^2)=\bar X[/mm],
> weil [mm]\bar X \bar Y^2\equiv \bar 0[/mm] im Restklassenring. Also
> [mm]\bar X + \bar X \bar Y[/mm] teilt [mm]\bar X[/mm] und [mm](\bar X + \bar X \bar Y)\supset (\bar X)[/mm].
>
> Für die a) müsste ich ja zeigen, daß es keine Einheiten
> [mm]e[/mm] im Restklassenring gibt, sodaß [mm]\bar X + \bar X \bar Y =e*\bar X[/mm].
Genau.
> ich weiß aber leider nicht wie die Einheiten "aussehen",
> daß sind ja nicht nur die Einheiten aus K.
Damit [mm] $\bar [/mm] X + [mm] \bar [/mm] X [mm] \bar [/mm] Y = e * [mm] \bar [/mm] X$ ist fuer irgendein $e [mm] \in [/mm] R$, so muss es Polynome $f, g [mm] \in [/mm] K[X, Y]$ geben mit $X + X Y = X f + X [mm] Y^2 [/mm] g$ (die Restklasse von $f$ ist $e$, und $g$ kuemmert sich um das Ideal $(X [mm] Y^2)$, [/mm] welches $R$ definiert).
Kuerzen ergibt erstmal $1 + Y = f + [mm] Y^2 [/mm] g$. Daraus folgt schonmal, dass $f$ von der Form $1 + Y + [mm] Y^2 \cdot \hat{f}$ [/mm] sein muss. Da $X [mm] Y^2 [/mm] = 0$ in $R$ ist, kann man also [mm] $\hat{f}$ [/mm] als Polynom nur in $Y$ annehmen (jedes $X$ welches vorkommt geht dank dem Vorfaktor [mm] $X^2$ [/mm] auf 0 in $R$). Damit ist $f = 1 + Y + [mm] Y^2 \hat{f}(Y)$ [/mm] und $e = 1 + [mm] \bar [/mm] Y + [mm] \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i$.
[/mm]
Jetzt musst du schauen, ob ein solches $e$ invertierbar sein kann. Genauer gesagt: zeigen, dass es nicht geht. Wenn irgend so ein $e$ invertierbar waere, waeren damit $X$ und $X + X Y$ assoziiert.
LG Felix
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Hallo Felix!
danke erstmal für deine Antwort!
> Damit [mm]\bar X + \bar X \bar Y = e * \bar X[/mm] ist fuer
> irgendein [mm]e \in R[/mm], so muss es Polynome [mm]f, g \in K[X, Y][/mm]
> geben mit [mm]X + X Y = X f + X Y^2 g[/mm] (die Restklasse von [mm]f[/mm] ist
> [mm]e[/mm], und [mm]g[/mm] kuemmert sich um das Ideal [mm](X Y^2)[/mm], welches [mm]R[/mm]
> definiert).
>
> Kuerzen ergibt erstmal [mm]1 + Y = f + Y^2 g[/mm]. Daraus folgt
> schonmal, dass [mm]f[/mm] von der Form [mm]1 + Y + Y^2 \cdot \hat{f}[/mm]
> sein muss. Da [mm]X Y^2 = 0[/mm] in [mm]R[/mm] ist, kann man also [mm]\hat{f}[/mm] als
> Polynom nur in [mm]Y[/mm] annehmen (jedes [mm]X[/mm] welches vorkommt geht
> dank dem Vorfaktor [mm]X^2[/mm] auf 0 in [mm]R[/mm]). Damit ist [mm]f = 1 + Y + Y^2 \hat{f}(Y)[/mm]
> und [mm]e = 1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i[/mm].
>
> Jetzt musst du schauen, ob ein solches [mm]e[/mm] invertierbar sein
> kann. Genauer gesagt: zeigen, dass es nicht geht. Wenn
> irgend so ein [mm]e[/mm] invertierbar waere, waeren damit [mm]X[/mm] und [mm]X + X Y[/mm]
> assoziiert.
Also, wenn alle Kandidaten für die benötigten Einheiten die Form [mm]e = 1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i[/mm] haben und damit nur Polynome in einer Variablen sind - auch wenn das jetzt formal nicht ganz stimmt, da wir ja im Restklassenring sind - , kann ich dann nicht einfach argumentieren wie im Standardbeweis für "Einheiten in R[X] sind genau die Einheiten in R"? Das klappt ja dann eben nicht, weil ich durch den gegebenen Koeffizienten [mm]e_1=1[/mm] nicht mehr alle Koeffizienten - außer dem konstanten - Null setzten kann. D.h. das Produkt zweier solcher Polynome hat mindestens den grad 1 und eben nicht wie für Invertierbarkeit notwendig den grad 0.
Stimmt das soweit?
Grüße couldbeworse
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 So 11.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin couldbeworse!
> > Kuerzen ergibt erstmal [mm]1 + Y = f + Y^2 g[/mm]. Daraus folgt
> > schonmal, dass [mm]f[/mm] von der Form [mm]1 + Y + Y^2 \cdot \hat{f}[/mm]
> > sein muss. Da [mm]X Y^2 = 0[/mm] in [mm]R[/mm] ist, kann man also [mm]\hat{f}[/mm] als
> > Polynom nur in [mm]Y[/mm] annehmen (jedes [mm]X[/mm] welches vorkommt geht
> > dank dem Vorfaktor [mm]X^2[/mm] auf 0 in [mm]R[/mm]). Damit ist [mm]f = 1 + Y + Y^2 \hat{f}(Y)[/mm]
> > und [mm]e = 1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i[/mm].
> >
> > Jetzt musst du schauen, ob ein solches [mm]e[/mm] invertierbar sein
> > kann. Genauer gesagt: zeigen, dass es nicht geht. Wenn
> > irgend so ein [mm]e[/mm] invertierbar waere, waeren damit [mm]X[/mm] und [mm]X + X Y[/mm]
> > assoziiert.
>
> Also, wenn alle Kandidaten für die benötigten Einheiten
> die Form [mm]e = 1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i[/mm] haben
> und damit nur Polynome in einer Variablen sind - auch wenn
> das jetzt formal nicht ganz stimmt, da wir ja im
> Restklassenring sind - , kann ich dann nicht einfach
> argumentieren wie im Standardbeweis für "Einheiten in R[X]
> sind genau die Einheiten in R"?
Nein. Das zeigt nur, dass eine moegliche Inverse nicht im vom $K$ und $Y$ erzeugten Unterring von $R$ liegt. (Dieser ist isomorph zum Polynomring $K[Y]$.) Du hast allerdings auch noch $X$, und in $R$ selber sind sowohl $X$ wie auch $Y$ Nullteiler. Daher kann es doch noch eine Inverse geben.
Schreib die Inverse doch als [mm] $\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i$ [/mm] mit [mm] $f_i(X) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^{m_i} a_{ij} \bar X^j$. [/mm] Berechne jetzt $(1 + [mm] \bar [/mm] Y + [mm] \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i) \cdot (\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i)$ [/mm] und streich alles weg was eh auf 0 geht. Jetzt schau, ob das ganze irgendwie 1 werden kann.
(Es ist vermutlich einfacher, das ganze auf $K[X, Y]$ zurueckzufuehren, da du dort Koeffizientenvergleich machen kannst.)
LG Felix
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Ok, ich verstehe zwar nicht so genau was du meinst, aber wenn ich probiers mal:
> Schreib die Inverse doch als [mm]\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i[/mm]
> mit [mm]f_i(X) = \sum_{j=0}^{m_i} a_{ij} \bar X^j[/mm]. Berechne
> jetzt [mm](1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i) \cdot (\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i)[/mm]
> und streich alles weg was eh auf 0 geht. Jetzt schau, ob
> das ganze irgendwie 1 werden kann.
[mm](1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i) \cdot (\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i)=f_0(X)+f_0(X) \bar Y + f_1(X) \bar Y= \sum_{j=0}^{m_0} a_{0j} \bar X^j + \sum_{j=0}^{m_0} a_{0j} \bar X^j \bar Y + \sum_{j=0}^{m_1} a_{1j} \bar X^j \bar Y[/mm], alle höheren Terme fallen ja weg...aber warum kann das jetzt nicht 1 werden?
Danke für deine Hilfe und Grüße
couldbeworse
>
> (Es ist vermutlich einfacher, das ganze auf [mm]K[X, Y][/mm]
> zurueckzufuehren, da du dort Koeffizientenvergleich machen
> kannst.)
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Mo 12.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, ich verstehe zwar nicht so genau was du meinst, aber
> wenn ich probiers mal:
>
> > Schreib die Inverse doch als [mm]\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i[/mm]
> > mit [mm]f_i(X) = \sum_{j=0}^{m_i} a_{ij} \bar X^j[/mm]. Berechne
> > jetzt [mm](1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i) \cdot (\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i)[/mm]
> > und streich alles weg was eh auf 0 geht. Jetzt schau, ob
> > das ganze irgendwie 1 werden kann.
>
> [mm](1 + \bar Y + \sum_{i=2}^n a_i \bar Y^i) \cdot (\sum_{i=0}^n f_i(X) \bar Y^i)=f_0(X)+f_0(X) \bar Y + f_1(X) \bar Y= \sum_{j=0}^{m_0} a_{0j} \bar X^j + \sum_{j=0}^{m_0} a_{0j} \bar X^j \bar Y + \sum_{j=0}^{m_1} a_{1j} \bar X^j \bar Y[/mm],
Da fehlt aber noch was!
Was ist etwa mit dem konstanten Term von [mm] $f_2(X)$? [/mm] Das Monom [mm] $a_{20} \bar Y^2$ [/mm] ist ja nicht gleich 0.
> alle höheren Terme fallen ja weg...aber warum kann das
> jetzt nicht 1 werden?
Nun, du musst anfangen Dinge zu verwenden die du aus den bisherigen Sachen weisst. Was aber ueber $R$ nicht so einfach ist, deswegen wie gesagt: arbeite ueber $K[X, Y]$!
Dort weisst du, dass der konstante Term des Produktes gleich 1 sein muss. Und alle anderen, die nicht durch Elemente aus dem Ideal modifiziert werden, gleich 0. Damit hast du schonmal ein paar Gleichungen, mit denen du loslegen kannst und einen Widerspruch suchen kannst.
LG Felix
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Hallo Felix,
lieben Dank für deine Geduld - jetzt bin ich leider völlig verwirrt. Ich dachte ich bewege mich die ganze Zeit im Restklassenring??? Habe wohl irgendwo einen riesen Denkfehler drin...wie würden denn die Polynome in [mm]K\left[X\right]\left[Y\right][/mm] aussehen?
Grüße
couldbeworse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 13.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin couldbeworse!
> lieben Dank für deine Geduld - jetzt bin ich leider
> völlig verwirrt. Ich dachte ich bewege mich die ganze Zeit
> im Restklassenring???
Tust du.
Allerdings ist so ein Restklassenring etwas unhandlich. Ein Polynomring ueber einem Koerper dagegen ist sehr einfach.
Da du einen solchen Polynomring modulo einem (recht einfachen) Ideal hast, kannst du das ausnutzen und im Polynomring arbeiten: wenn die Restklassen zweier Polynome gleich sind, dann sind die Polynome gleich bis auf ein Vielfaches des Erzeugers des Ideals. Und die Vielfachen sind hier recht einfach zu beschreiben.
LG Felix
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