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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 23.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich habe hier ein Kapitel , in dem es um die Anwendung des Reprozitätsgesetzes und des Restsymbols geht.
Eine Anwendung des Reprozitätsgesetze besteht ja darin, dass man z.B das Restsymbol [mm] ( \bruch{p}{q}) [/mm] schneller berechnen kann.
Eine andere Anwendung wird nun in den folgenden Zeilen beschrieben und dazu habe ich einige Unklarheiten:
II
q sei eine feste ungerade Primzahl. Wie variiert [mm] ( \bruch{q}{p} )
[/mm] mit p, wenn p durch alle Primzahlen läuft ?
[mm] M^{+}_q = \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p\ne q , ( \bruch{q}{p} ) = 1 \} [/mm]
[mm] M^{-}_q = \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p\ne q , ( \bruch{q}{p} ) = - 1 \} [/mm]
Es gilt:
- [mm] M^{+}_q \cup M^{-}_q [/mm] = Primzahlen [mm] \setminus \{ q \} \cup \{ 2 \} [/mm]
( Warum wird die 2 ausgeschlossen ? )
- [mm] M^{+}_q \cap M^{-}_q = \emptyset [/mm]
( Womit begründet man, dass diese beiden Mengen keine gemeinsamen Elemente haben? Weil vielleicht eine Zahl nie gleichzeitig quadratischer Rest und Nichtrest sein kann?)
Fallunterscheidung :
( Vorab, warum macht man diese Fallunterscheidung und warum ausgerechnet [mm] q \equiv 1 \mod 4 [/mm] und [mm] q \equiv 3 \mod 4 [/mm] ? )
1.FALL: [mm] q \equiv 1 \mod 4 [/mm]
[mm] M^{+}_q [/mm] = [mm] \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p \in U_q = ( \mathbb Z / q \mathbb Z )^{ \* }^{2} \} [/mm]
( Was ist denn das für eine Menge [mm] ( \mathbb Z / q \mathbb Z )^{ \* }^{2} \} [/mm]? Ich kenne das, aber ohne die "hoch 2" .?
[mm] M^{-}_q [/mm] = [mm] \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p \notin U_q\} [/mm]
( Also, heißt das, dass wenn [mm] ( \bruch{q}{p} ) = 1 [/mm] gilt auch [mm] p \in U_q [/mm] gelten muss? Wenn ja, warum? )
Beispiel :
q = 5
[mm] M_5^{+} [/mm] = [mm] \{ p [/mm] ungerade PZ [mm] | \ p \equiv 1, 4 \mod 5 \} [/mm]
[mm] M_5^{-} [/mm] = [mm] \{ p [/mm] ungerade PZ [mm] | \ p \equiv 2, 3 \mod 5 \} [/mm]
( Ich vestehe nun leider nicht, warum diese Primzahlen in den Mengen ausgerechnet diese Konguenzen erfüllen müssen ? )
2.FALL : [mm] q \equiv 1 \mod 4 [/mm]
[mm] M^{+}_q [/mm] = [mm] \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p \notin U_q , \ p \equiv 3 \mod 4 \} \cup \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p \in U_q , \ p \equiv 1 \mod 4 \} [/mm]
[mm] M^{+}_q [/mm] = [mm] \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p \in U_q , \ p \equiv 3 \mod 4 \} \cup \{ p [/mm] ungerade Primzahl [mm] | \ p \notin U_q , \ p \equiv 1 \mod 4 \} [/mm]
( Wie im Fall 1 versteh ich absolut nicht, warum diese Mengen so ausschauen. :-( .... )
Beispiel :
q = 3
[mm] M_3^{+} = \{ p \ | \ p \equiv -1 \mod 12 [/mm] oder [mm] p \equiv 1 \mod 12\} [/mm]
[mm] M_3^{-} = \{ p \ | \ p \equiv -5, 7 \mod 12 \} [/mm]
Warum hat man hier jetzt mod 12 Rechnung?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, denn irgendwie verstehe ich hier gerade nur Bahnhof :-( ....
Viele Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 So 26.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hi,
kann dir insofern weiterhelfen, dass generell mit R² das kartesische Produkt R x R gemeint ist, also z.B. ist ja [mm] \IC=\IR²= [/mm] R x R. Entsprechend ist (Z/nZ)*² definiert.
Man kann sich zumindest logisch klarmachen, dass für Primzahlen p ohne 2 entweder [mm] p\\equiv [/mm] 1(4) oder [mm] p\equiv [/mm] 3(4) gilt. Primzahlen sind ungerade, sie hinterlassen bei Division durch gerade Zahlen also ungerade Reste und damit kommen nur 1 oder 3 in Frage, alle anderen Reste sind ja mit 1 und 3 identisch.
Leider haben wir den Beweis ganz anders gehandhabt, deswegen kann ich dir da nicht weiterhelfen.
VG
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 26.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Trotzdem vielen Dank für diesen Beitrag! Dadurch haben sich zumindest ein paar Unklarheiten erledigt  !
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Ich habe eine Frage zur Anwendung des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes....
Ich habe mich immer gefragt wozu wir das brachen, und konnte mir das jetzt nur vorstellen als eine weiteres Hilfmittel um das restsymbol einfacher zu berechenen.
Jetzt bin ich auf eine Sache gestoßen, die sich mit der Anwengung des Gesetzes beschäftigt und habe Probleme es zu vertsehen.
Die Überschrit dieser Anwendung heißt " Zerlegungsgesetz ":
Sei q eine feste ungerade Primzahl, dann ist [mm] x^2 - q [/mm] irreduzibel über [mm] \mathbb Q [/mm].
Es gilt:
[mm] M_q ^+ = \{ p \ ungerade \ Primzahl \ | \ x^2 - q \in \mathbb F _p \left[x \right] \ hat \ 2 \ verschiedene \ Linearfaktoren \ \} [/mm]
[mm] M_q ^- = \{ p \ ungerade \ Primzahl \ | \ x^2 - q \in \mathbb F _p \left[x \right] \ irreduzibel \ \} [/mm]
So, was soll mir das sagen? wo verwende ich hier das Reziprozitätsgesetz?
Etwa oben im [mm] x^2 - q [/mm] , wenn ich dort [mm] x^2 = q [/mm] rechnen würde?
Ich versteh es leider überhaupt nicht... :-(.
Hoffe, das mir jemand helfen kann!!!!
Vielen Dank schonmal!
Liebe Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mi 29.10.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Die Überschrit dieser Anwendung heißt " Zerlegungsgesetz
> ":
>
> Sei q eine feste ungerade Primzahl, dann ist [mm]x^2 - q[/mm]
> irreduzibel über [mm]\mathbb Q [/mm].
>
> Es gilt:
>
> [mm]M_q ^+ = \{ p \ ungerade \ Primzahl \ | \ x^2 - q \in \mathbb F _p \left[x \right] \ hat \ 2 \ verschiedene \ Linearfaktoren \ \}[/mm]
>
> [mm]M_q ^- = \{ p \ ungerade \ Primzahl \ | \ x^2 - q \in \mathbb F _p \left[x \right] \ irreduzibel \ \}[/mm]
Nehmen wir mal [mm] M_q^+. F_p [/mm] ist ein Körper. Wenn das Polynom [mm] x^2 [/mm] - q eine Nullstelle hat, dann zerfällt es nach der Polynomdivision z. B. in 2 Linearfaktoren gemäß der 3 binomischen Formel. Wenn a eine Nullstelle ist, dann ist -a die andere, und in [mm] F_p [/mm] ist [mm] a^2 [/mm] = q. Also ist q quadratischer Rest mod p. Diesen Schluß kannst du umkehren.
Die 2. Menge sind gerade die Nichtreste.
Gruß
Dieter
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