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Hallöchen,
ich beschäftige mich immer noch mit der Aufarbeitung des Skriptes und bei diesem Beweis treten bei mir ein paar kleinere Fragen auf und ich hoffe jemand kann mir weiter helfen. Es geht also um den Satz:
Seine p [mm] \not= [/mm] 2 und [mm] \not= [/mm] q Primzahlen. Dann [mm] (\frac{p}{q})*(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2} * \frac{q-1}{2}}. [/mm] Es gilt also [mm] (\frac{p}{q})=(\frac{q}{p}) [/mm] wenn p [mm] \equiv [/mm] q [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 bzw. [mm] (\frac{p}{q})=-(\frac{q}{p}) [/mm] wenn p [mm] \equiv [/mm] q [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4.
Nun zum Beweis:
Wir führen Beweis mithilfe des Gaußschen Lemma. Wir definieren
[mm] \mu= \# \{i | 1 \le i \le \frac{q-1}{2}, r_q (p_i)<0 \} [/mm] Das ist die Anzahl für welche der betragskleinste Rest modulo q von [mm] p_i [/mm] negativ ist.
[mm] \lambda= \# \{j | 1 \le j \le \frac{p-1}{2}, r_p (q_j)<0 \}
[/mm]
zu zeigen: [mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda [/mm] ungerade [mm] \gdw [/mm] p [mm] \equiv [/mm] q [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4
Mir ist nicht wirklich bewusst was mir das bringt, dass ich das zeige. Inwiefern passt das zu dem was ich zeigen will?
Dafür betrachten wir [mm] \Gamma =\{(x,y) \in \IZ^{2} \text{mit} 0
Wir zählen nun die Gitterpunkt für die das gilt. Alle diese Gitterpunkte liegen in einem Streifen der Breite 1 um die Gerade y= [mm] \frac{q}{p} [/mm] x.
Auch wenn das vielleicht nicht von Bedeutung ist aber woran erkennt man das der Streifen die Breite eins hat?
Dabei ist [mm] \Gamma [/mm] = [mm] \IZ^2 \cap [/mm] dem Streifen und
Rand [mm] \Gamma \cap \IZ^2 [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Wieso ist dieser Durchschnitt denn leer? Ich verstehe nicht warum auf dem Rand des Streifen keine Gitterpunkte liegen dürfen.
Kann mir das bitte jemand erklären?
Liebe Grüße
Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 28.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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