Riccati-DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Fr 14.11.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Lösen sie folgende DGL:
[mm] y'=\bruch{1}{x^3}y^2-\bruch{1}{x^2}y+1 [/mm] |
Hallo zusammen:
Ich habe zunächst durch den Ansatz y=ax+b eine spezielle Lösung gesucht und (denke ich) mit y=x gefunden.
Dann erhalte ich ja mit [mm] v(x)=\bruch{1}{y-x} [/mm]
[mm] v'+\bruch{1}{x^2}v=\bruch{-1}{x^3}
[/mm]
Allerdings hänge ich bei der Lösung der inhomogenen DGL, denn dort taucht das Integral [mm] \integral{\bruch{-1}{x^3}e^{\bruch{-1}{x}} dx} [/mm] auf. So weit ich weiß lässt sich das nicht elementar bestimmen. Daher vermute ich in meiner Rechnung einen Fehler...
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Lösen sie folgende DGL:
> [mm]y'=\bruch{1}{x^3}y^2-\bruch{1}{x^2}y+1[/mm]
> Hallo zusammen:
>
> Ich habe zunächst durch den Ansatz y=ax+b eine spezielle
> Lösung gesucht und (denke ich) mit y=x gefunden.
>
> Dann erhalte ich ja mit [mm]v(x)=\bruch{1}{y-x}[/mm]
>
> [mm]v'+\bruch{1}{x^2}v=\bruch{-1}{x^3}[/mm]
>
> Allerdings hänge ich bei der Lösung der inhomogenen DGL,
> denn dort taucht das Integral
> [mm]\integral{\bruch{-1}{x^3}e^{\bruch{-1}{x}} dx}[/mm] auf. So weit
> ich weiß lässt sich das nicht elementar bestimmen. Daher
> vermute ich in meiner Rechnung einen Fehler...
Deine Rechnung ist richtig.
Allerdings führt der gewählte Weg zur
Lösung der inhomogenen DGL nicht zum Ziel.
Besser ist hier der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]v_{p}\left(x\right)=\bruch{a}{x}+b[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 15.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke für deine Antwort, ich verstehe allerdings nicht ganz, was du meinst. Könntest du deinen Ansatz bitte etwas mehr ausführen?
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Danke für deine Antwort, ich verstehe allerdings nicht
> ganz, was du meinst. Könntest du deinen Ansatz bitte etwas
> mehr ausführen?
Um eine partikuläre Lösung der DGL
[mm]v'+\bruch{1}{x^2}v=\bruch{-1}{x^3} [/mm]
zu finden, kann der Ansatz
[mm]v_{p}\left(x\right)=\bruch{a}{x}+b, \ a.b \in \IR[/mm]
gemacht werden.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 15.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok, jetzt habe ich deinen Ansatz verstanden. Danke! So erhalte ich
[mm] v=\bruch{-1}{x}-1 [/mm] als Lösung
Wie mache ich dann weiter?
|
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
> Ok, jetzt habe ich deinen Ansatz verstanden. Danke! So
> erhalte ich
> [mm]v=\bruch{-1}{x}-1[/mm] als Lösung
>
> Wie mache ich dann weiter?
Um die gesamte Lösung der DGL
[mm] v'+\bruch{1}{x^2}v=\bruch{-1}{x^3} [/mm]
zu erhalten, addierst Du die Lösung
[mm]v_{p}\left(x\right)=\bruch{-1}{x}-1[/mm]
zur homogenen Lösung dieser DGL.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Dann erhalte ich [mm] v(x)=ce^{1/x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}-1 [/mm] . Stimmt das so?
Wie bist du eigentlich auf den Ansatz für die partikuläre Lösung gekommen?
Und: Sieht man der DGL schon vorher an, dass man die nicht dem gewohnten Schema für trennbare DGLn lösen kann? Oder muss man das erst ausprobieren und sieht dann, dass ein Integral auftritt, welches sich nicht berechnen lässt?
|
|
|
| |
|
Hallo Trikolon,
> Dann erhalte ich [mm]v(x)=ce^{1/x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x}-1[/mm] . Stimmt
> das so?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie bist du eigentlich auf den Ansatz für die partikuläre
> Lösung gekommen?
>
Da hat nur probieren und die Gestalt der DGL geholfen.
> Und: Sieht man der DGL schon vorher an, dass man die nicht
> dem gewohnten Schema für trennbare DGLn lösen kann? Oder
> muss man das erst ausprobieren und sieht dann, dass ein
> Integral auftritt, welches sich nicht berechnen lässt?
Das muss erst ausprobiert werden.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
