Riccatische Dlg. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 24.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | $$ [mm] y'(x)+h(x)y^2(x)+ [/mm] g(x)y(x)=k(x)$$ ist mit f,g,h als stetigen Fkt. auf dem Intervall I die Riccatische Dlg.
Sei weiterhin [mm] \phi [/mm] eine Lsg. der Riccatischen Dlg. und
$$ [mm] y'(x)+h(x)y^2(x)+ [/mm] g(x)y(x)=k(x), [mm] y(x_0)=y_0\not=\phi(x_0)$$
[/mm]
ein AWP.
Zeigen Sie, dass das AWP auf einem geeignet kleinen Intervall höchstens eine Lsg. hat. |
Hey,
ich hab hier eine Problem bei dieser Aufgabe.
Ich weiß, dass jede Lsg von der Form [mm] $y=\phi-u$ [/mm] ist, wobei u die Bernoullische Dgl mit dem AWP [mm] $$u'(x)+[g(x)+2\phi(x)h(x)]u(x)+h(x)u^2(x)=0, u(x_0)=y_0-\phi(x_0)$$ [/mm] eindeutig löst.
Doch komm ich jetzt nicht weiter. Wie zeige ich denn nun, dass egal wie ich [mm] $\phi$ [/mm] wähle immer die gleiche Lsg $y$ rauskommt?
Gruß Diddy
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Hallo diddy449,
> [mm]y'(x)+h(x)y^2(x)+ g(x)y(x)=k(x)[/mm] ist mit f,g,h als stetigen
> Fkt. auf dem Intervall I die Riccatische Dlg.
> Sei weiterhin [mm]\phi[/mm] eine Lsg. der Riccatischen Dlg. und
> [mm]y'(x)+h(x)y^2(x)+ g(x)y(x)=k(x), y(x_0)=y_0\not=\phi(x_0)[/mm]
>
> ein AWP.
>
> Zeigen Sie, dass das AWP auf einem geeignet kleinen
> Intervall höchstens eine Lsg. hat.
> Hey,
> ich hab hier eine Problem bei dieser Aufgabe.
>
> Ich weiß, dass jede Lsg von der Form [mm]$y=\phi-u$[/mm] ist, wobei
> u die Bernoullische Dgl mit dem AWP
> [mm]u'(x)+[g(x)+2\phi(x)h(x)]u(x)+h(x)u^2(x)=0, u(x_0)=y_0-\phi(x_0)[/mm]
> eindeutig löst.
>
> Doch komm ich jetzt nicht weiter. Wie zeige ich denn nun,
> dass egal wie ich [mm]\phi[/mm] wähle immer die gleiche Lsg [mm]y[/mm]
> rauskommt?
[mm]\phi[/mm] kannst Du nicht wählen, da [mm]\phi[/mm]
eine Lösung der Riccatischen DGL ist.
>
> Gruß Diddy
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 24.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
Hey,
> [mm]\phi[/mm] kannst Du nicht wählen, da [mm]\phi[/mm]
> eine Lösung der Riccatischen DGL ist.
Ok, aber [mm] $\phi$ [/mm] kann eine beliebige Lsg der Riccatischen DGl sein.
Sagen wir ich habe vorher zufällig zwei unterschiedliche Lösungen der Riccatischen Dgl bestimmt, undzwar [mm] $\phi_1$ [/mm] und [mm] $\phi_2$.
[/mm]
Wieso muss dann folgendes für alle Lsg y des AWP gelten?
[mm] $y=\phi_1-u_{\phi_1}=\phi_2-u_{\phi_2}$
[/mm]
Also warum ist die Lsg y unabhängig von konkreten [mm] $\phi$ [/mm] bzw. wie kann ich zeigen dass die Lsg des AWP y eindeutig ist?
Gruß Diddy
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Hallo diddy449,
> Hey,
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> > [mm]\phi[/mm] kannst Du nicht wählen, da [mm]\phi[/mm]
> > eine Lösung der Riccatischen DGL ist.
>
> Ok, aber [mm]\phi[/mm] kann eine beliebige Lsg der Riccatischen DGl
> sein.
> Sagen wir ich habe vorher zufällig zwei unterschiedliche
> Lösungen der Riccatischen Dgl bestimmt, undzwar [mm]\phi_1[/mm] und
> [mm]\phi_2[/mm].
>
> Wieso muss dann folgendes für alle Lsg y des AWP gelten?
> [mm]y=\phi_1-u_{\phi_1}=\phi_2-u_{\phi_2}[/mm]
>
Nun, dann hast Du 3 Lösungen: [mm]y, \ \phi_{1}, \ \phi_{2}[/mm]
Die Differenz von je zwei dieser Lösungen genügt nun wieder
einer Bernoullischen DGL.
> Also warum ist die Lsg y unabhängig von konkreten [mm]\phi[/mm]
> bzw. wie kann ich zeigen dass die Lsg des AWP y eindeutig
> ist?
>
> Gruß Diddy
>
Gruss
MathePower
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