Riccatti DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Fr 05.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgende DGL von Riccatti
[mm] y'=f(x)y^2+g(x)y+h(x)
[/mm]
wobei f,g,h : I [mm] \subset \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] stetig seien. Zeigen Sie, dass , wenn man für die DGL eine spezielle Lösung [mm] y_1 [/mm] in I kennt, man alle Lösungen der Form [mm] y=y_1 [/mm] + u erhält, wobei die Lösung der Bernoulli DGL
u' = [mm] [2f(x)y_1(x) [/mm] + g(x)]u [mm] +f(x)u^2 [/mm] durchläuft |
Hallo zusammen,
sitze grade an dieser aufgabe und verstehe das einfach nicht! hab mal im internet geguckt ob ich irgendwas über die Riccatti - DGL erfahre und hab dazu auch was gefunden nur verstehe ich die einzelnen schritte nicht...ich hoffe, dass mir hier jemand bei der erklärung helfen kann:
y'= [mm] f(x)y^2 [/mm] + g(x)*y +h(x)
spezielle lösung [mm] y_1
[/mm]
[mm] y'-y_1' [/mm] = [mm] f(x)y^2 [/mm] + g(x)y + h(x) [mm] -y_1' [/mm] so okay hier wäre schonmal meine erste frage: wenn ich eine spezielle lösung [mm] y_1 [/mm] habe muss ich dann immer die ableitung von dieser mit meiner riccatti dgl subtrahieren?
= [mm] f(x)y^2+g(x)y -f(x)y_^2-g(x)y_1 [/mm] was wurde hier jetzt gemacht? wurde mein [mm] h(x)-y_1 [/mm] jetzt einfach durch das [mm] -f(x)y_^2-g(x)y_1 [/mm] ersetzt? wenn ja wieso darf ich das machen?
=g(x)*y [mm] -g(x)y_1 +2f(x)y_1*y [/mm] - [mm] 2f(x)y^2_1+f(x)y^2 -2f(x)y_1y+f(x)y^2_1 [/mm]
hier wurden ja die g funktionen zusammengefasst aber wie komme ich auf den term danach?
erstmal bis hierhin...
wäre echt toll wenn mir das jemand erklären könnte!danke im vorraus!
gruß,
peeetaaa
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Hallo peeetaaa,
> Betrachten Sie folgende DGL von Riccatti
> [mm]y'=f(x)y^2+g(x)y+h(x)[/mm]
> wobei f,g,h : I [mm]\subset \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetig seien. Zeigen
> Sie, dass , wenn man für die DGL eine spezielle Lösung
> [mm]y_1[/mm] in I kennt, man alle Lösungen der Form [mm]y=y_1[/mm] + u
> erhält, wobei die Lösung der Bernoulli DGL
> u' = [mm][2f(x)y_1(x)[/mm] + g(x)]u [mm]+f(x)u^2[/mm] durchläuft
> Hallo zusammen,
>
> sitze grade an dieser aufgabe und verstehe das einfach
> nicht! hab mal im internet geguckt ob ich irgendwas über
> die Riccatti - DGL erfahre und hab dazu auch was gefunden
> nur verstehe ich die einzelnen schritte nicht...ich hoffe,
> dass mir hier jemand bei der erklärung helfen kann:
>
> y'= [mm]f(x)y^2[/mm] + g(x)*y +h(x)
>
> spezielle lösung [mm]y_1[/mm]
>
> [mm]y'-y_1'[/mm] = [mm]f(x)y^2[/mm] + g(x)y + h(x) [mm]-y_1'[/mm] so okay hier wäre
> schonmal meine erste frage: wenn ich eine spezielle lösung
> [mm]y_1[/mm] habe muss ich dann immer die ableitung von dieser mit
> meiner riccatti dgl subtrahieren?
Dies ist nur erste Schritt, um zu zeigen, daß die Substitution
[mm]y=y1+u[/mm]
auf eine Bernoulli DGL führt.
>
> = [mm]f(x)y^2+g(x)y -f(x)y_^2-g(x)y_1[/mm] was wurde hier jetzt
> gemacht? wurde mein [mm]h(x)-y_1[/mm] jetzt einfach durch das
> [mm]-f(x)y_^2-g(x)y_1[/mm] ersetzt? wenn ja wieso darf ich das
> machen?
[mm]y'-y_{1}' = f(x)y^{2} + g(x)y + h(x)-y_{1}'[/mm]
Ersetzt man nun das rechte [mm]y_{1}'[/mm] gemäß der gegebenen DGL,
so folgt:
[mm]y'-y_{1}' = f(x)y^{2} + g(x)y + h(x)-\left(f(x)y_{1}^{2} + g(x)y_{1} + h(x)\right)[/mm]
[mm]\gdw y'-y_{1}'=f(x)y^{2} + g(x)y -f(x)y_{1}^{2} - g(x)y_{1}[/mm]
>
> =g(x)*y [mm]-g(x)y_1 +2f(x)y_1*y[/mm] - [mm]2f(x)y^2_1+f(x)y^2 -2f(x)y_1y+f(x)y^2_1[/mm]
> hier wurden ja die g funktionen zusammengefasst aber wie
> komme ich auf den term danach?
>
Die letzte Gleichung etwas zusammengefasst:
[mm]y'-y_{1}'=f(x)\left(y^{2}-y_{1}^{2}\right) + g(x)\left(y -y_{1} \right)[/mm]
[mm]\gdw u'=f(x)\left(y^{2}-y_{1}^{2}\right) + g(x)*u[/mm]
Nun müssen wir noch [mm]y^{2}-y_{1}^{2}[/mm] umformen:
Dazu bedienen wir uns der quadratischen Ergänzung:
[mm]y^{2}-y_{1}^{2}=y^{2}-2*y*y_{2}+y_{1}^{2}+2*y*y_{1}-2*y_{1}^{2}=u^{2}+2*y_{1}*\left(y-y_{1}\right)=u^{2}+2*y_{1}*u[/mm]
Dann etwas eingesetzt und etwas umgeformt:
[mm]\gdw u'=f(x)\left(u^{2}+2*y_{1}*u\right) + g(x)*u[/mm]
[mm]\gdw u'=\left(2*y_{1}*f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)*u+f\left(x\right)*u^{2}[/mm]
> erstmal bis hierhin...
> wäre echt toll wenn mir das jemand erklären
> könnte!danke im vorraus!
>
> gruß,
> peeetaaa
> ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 06.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
danke schonmal für die erklärung mir ist jedoch immer noch unklar was bei dem schritt von:
[mm] y'-y_{1}' [/mm] = [mm] f(x)y^{2} [/mm] + g(x)y + [mm] h(x)-y_{1}'
[/mm]
nach :
g(x)*y [mm] -g(x)y_1 +2f(x)y_1\cdot{}y [/mm] - [mm] 2f(x)y^2_1+f(x)y^2 -2f(x)y_1y+f(x)y^2_1 [/mm]
gemacht wurde...
könnte mir das vllt jemand nochmal etwas näher brigen?
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Du setzt ja ein, wie Mathepower geschrieben hat,
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] f(x)y_{1}^{2} [/mm] + [mm] g(x)y_{1} [/mm] + h(x)
Dann kürzt sich einiges weg und es folgt:
[mm] (y-y_{1})'= (y^{2}-y_{1}^{2})f(x) [/mm] + [mm] (y-y_{1})g(x)
[/mm]
in der Voraussetzung hast du gegeben, dass y = [mm] y_{1} [/mm] + u [mm] \gdw [/mm] u = y - [mm] y_{1}
[/mm]
das kannst du oben einsetzen:
u' = [mm] (y^{2}-y_{1}^{2})f(x) [/mm] + ug(x)
jetzt musst du noch zeigen, dass [mm] (y^{2}-y_{1}^{2}) [/mm] = [mm] (2y_{1} [/mm] +u)u = [mm] 2y_{1}u [/mm] + [mm] u^{2}
[/mm]
Setze und u = y - [mm] y_{1} [/mm] ein. Dann müsstest du durch kürzen auf den linken Teil kommen.
Also gilt u' = [mm] (2y_{1}u [/mm] + [mm] u^{2})f(x) [/mm] + ug(x)
Umformen und du bist bei der Behauptung angekommen.
Dein Ausdruck:
g(x)*y [mm] -g(x)y_1 +2f(x)y_1\cdot{}y [/mm] - [mm] 2f(x)y^2_1+f(x)y^2 -2f(x)y_1y+f(x)y^2_1 [/mm]
ist etwas umständlich. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 07.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | DGL:
[mm] y'+f(x)y^2 [/mm] +g(x)y = h(x)
wenn man nun für diese DGL eine spezielle Lösung [mm] y_1 [/mm] kennt, dann kann man alle Lösungen in der Form [mm] y=y_1+u [/mm] erhalten, wobei u die Lösungen der Bernoulli DGL [mm] u'+[2f(x)y_1(x)+g(x)]u+f(x)u^2 [/mm] = 0 durchläuft |
Danke für die super Erkärung...hab allerdings jetzt zu einer etwas abgewandelten version eine frage...denn ich finde da meinen fehler nicht!
DGL:
[mm] y'+f(x)y^2 [/mm] +g(x)y = h(x)
-> y' [mm] =-f(x)y^2-g(x)y+h(x)
[/mm]
und [mm] y_1' [/mm] = [mm] -f(x)y_1^2-g(x)y_1+h(x)
[/mm]
[mm] y'-y_1'= -f(x)y^2-g(x)y+h(x) -y_1'
[/mm]
[mm] (y-y_1)' [/mm] = [mm] -f(x)y^2+f(x)y_1^2 -g(x)y+g(x)y_1
[/mm]
[mm] (y-y_1)' [/mm] = [mm] (y_1^2-y^2)f(x) [/mm] + [mm] (y_1-y)g(x)
[/mm]
nach vorraussetzung gilt [mm] y=y_1 [/mm] + u also auch u= [mm] y-y_1
[/mm]
-u' = [mm] (y_1^2-y^2)f(x)-ug(x)
[/mm]
es gilt [mm] (y_1^2-y^2)= y_1^2 [/mm] - [mm] (y_1^2+2y_1u+u^2)=(-2y_1-u)u
[/mm]
also folgt
[mm] -u=(-2y_1-u)uf(x)-ug(x)
[/mm]
-u'= [mm] -(2y_1+u)uf(x) [/mm] -ug(x)
u'= [mm] (2y_1+u)uf(x)+ug(x)
[/mm]
=2y_1uf(x) + u^2f(x)+ug(x)
=[(2y_1f(x) +g(x)]u + [mm] f(x)u^2
[/mm]
--> u' - [(2y_1f(x) +g(x)]u - [mm] f(x)u^2 [/mm] = 0
heißt also bei mir durchläuft sie ja nicht :
[mm] u'+[2f(x)y_1(x)+g(x)]u+f(x)u^2 [/mm] = 0
sieht vllt jemand was ich falsch gemacht hab?
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Hallo peeetaaa,
> DGL:
> [mm]y'+f(x)y^2[/mm] +g(x)y = h(x)
> wenn man nun für diese DGL eine spezielle Lösung [mm]y_1[/mm]
> kennt, dann kann man alle Lösungen in der Form [mm]y=y_1+u[/mm]
> erhalten, wobei u die Lösungen der Bernoulli DGL
> [mm]u'+[2f(x)y_1(x)+g(x)]u+f(x)u^2[/mm] = 0 durchläuft
> Danke für die super Erkärung...hab allerdings jetzt zu
> einer etwas abgewandelten version eine frage...denn ich
> finde da meinen fehler nicht!
>
> DGL:
> [mm]y'+f(x)y^2[/mm] +g(x)y = h(x)
> -> y' [mm]=-f(x)y^2-g(x)y+h(x)[/mm]
> und [mm]y_1'[/mm] = [mm]-f(x)y_1^2-g(x)y_1+h(x)[/mm]
>
> [mm]y'-y_1'= -f(x)y^2-g(x)y+h(x) -y_1'[/mm]
> [mm](y-y_1)'[/mm] =
> [mm]-f(x)y^2+f(x)y_1^2 -g(x)y+g(x)y_1[/mm]
> [mm](y-y_1)'[/mm] =
> [mm](y_1^2-y^2)f(x)[/mm] + [mm](y_1-y)g(x)[/mm]
> nach vorraussetzung gilt [mm]y=y_1[/mm] + u also auch u= [mm]y-y_1[/mm]
> -u' = [mm](y_1^2-y^2)f(x)-ug(x)[/mm]
>
> es gilt [mm](y_1^2-y^2)= y_1^2[/mm] - [mm](y_1^2+2y_1u+u^2)=(-2y_1-u)u[/mm]
>
> also folgt
> [mm]-u=(-2y_1-u)uf(x)-ug(x)[/mm]
> -u'= [mm]-(2y_1+u)uf(x)[/mm] -ug(x)
> u'= [mm](2y_1+u)uf(x)+ug(x)[/mm]
> =2y_1uf(x) + u^2f(x)+ug(x)
> =[(2y_1f(x) +g(x)]u + [mm]f(x)u^2[/mm]
>
> --> u' - [(2y_1f(x) +g(x)]u - [mm]f(x)u^2[/mm] = 0
>
> heißt also bei mir durchläuft sie ja nicht :
> [mm]u'+[2f(x)y_1(x)+g(x)]u+f(x)u^2[/mm] = 0
>
> sieht vllt jemand was ich falsch gemacht hab?
>
Du hast nichts falsch gemacht.
Die Darstellung, die Du hier herausbekommen hast,
ist, nach einer kleinen Umstellung, die in der Aufgabe
behauptete Darstellung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
danke, aber wie kann ich das denn umstellen, sodass ich die darstellung in der aufgabe rauskriege?
habe schon geguckt ob ich einen vorzeichenfehler eingebaut habe aber finde ihn nicht...
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Hallo peetaaaa,
> danke, aber wie kann ich das denn umstellen, sodass ich die
> darstellung in der aufgabe rauskriege?
> habe schon geguckt ob ich einen vorzeichenfehler eingebaut
> habe aber finde ihn nicht...
Nach nochmaliger Durchsicht habe ich festgestellt, daß von
[mm] (y-y_1)' = (y_1^2-y^2)f(x) + (y_1-y)g(x) [/mm]
nach
[mm] -u' = (y_1^2-y^2)f(x)-ug(x) [/mm]
ein Vorzeichenfehler passiert ist.
Hier muss es heißen:
[mm] \red{+}u' = (y_1^2-y^2)f(x)-ug(x) [/mm]
,da gemäß Definition [mm]y=y_{1}+u[/mm] gilt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Di 09.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Das hab ich übersehen! Danke für eure Hilfe!!
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