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Ich habe eine Aufgabe gerechnet und auch ein Ergebnis raus, weiß aber nicht, ob ich das richtig gemacht habe.
Also, meine Aufgabe ist:
f(x)= [mm] \bruch{8}{2+3x}
[/mm]
Meine Rechnung sieht volgendermaßen aus:
u=2+3x
u'=3 => [mm] dx=\bruch{du}{3}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{8}{u}) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{8}{u}) \bruch{du}{3}} [/mm] = [mm] \bruch {1}{3}\integral_{}^{}{f(\bruch{8}{u}) }
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*8 [/mm] ln u = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] ln (3x+2)
Mein Ergebniss ist also: [mm] \bruch{8}{3} [/mm] ln (3x+2)
Ist das Richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 22.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht gut aus, aber lass das f(...) im Integral weg.
Also:
[mm] \integral\bruch{8}{2+3x}
[/mm]
[mm] \stackrel{u:=2+3x}=\integral\bruch{8}{u}dx
[/mm]
[mm] =\integral\bruch{8}{u}\bruch{du}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}\integral\bruch{8}{u}du
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{3}*\integral\bruch{1}{u}du
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{3}*\ln(u)
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{3}*\ln(2+3x)
[/mm]
Marius
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Das ist gut, das ich das Richtig habe. In der Zwischenzeit habe ich schon eine weitere Aufgabe versucht, allerdings habe ich etwas ganz anderes raus, als der Taschenrechner.
Aufgabe:
f(x)= [mm] \bruch{1}{x^2-9}
[/mm]
Meine Rechnung:
u= [mm] x^2-9
[/mm]
u'= 2x
f(x)= [mm] \bruch{1}{u} \bruch{du}{2x}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{1}{2x u} [/mm] du
= [mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{2x u}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] ln [mm] (x^2-9)
[/mm]
Irgendwo muss ein Fehler sein, ich weiß bloß nicht wo -.- Danke im Vorraus schoneinmal
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> Das ist gut, das ich das Richtig habe. In der Zwischenzeit
> habe ich schon eine weitere Aufgabe versucht, allerdings
> habe ich etwas ganz anderes raus, als der Taschenrechner.
>
> Aufgabe:
> f(x)= [mm]\bruch{1}{x^2-9}[/mm]
>
> Meine Rechnung:
>
> u= [mm]x^2-9[/mm]
> u'= 2x
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{u} \bruch{du}{2x}[/mm]
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{2x u}[/mm] du
diese Zeilen müssten anders notiert werden
die linken Seiten "f(x)=" sind hier fehl am Platz !
du könntest schreiben:
[mm] \integral f(x)dx=\integral \bruch{1}{2x u}du
[/mm]
Allerdings kann man dann das x nicht aus dem
Integral herausziehen, weil zwischen x und der
neuen Integrationsvariablen u eine Abhängigkeit
besteht.
Weil in diesem Fall die Ableitung u' nicht konstant, sondern
von x abhängig ist, kommt man mit der Substitution [mm] u=x^2-9
[/mm]
hier nicht weiter. Dass dein Ergebnis falsch ist, kannst du
einsehen, wenn du es ableitest und konstatierst, dass die
Produkt- oder Quotientenregel, die du dazu brauchst, zu
einem komplizierteren Term als [mm]\bruch{1}{x^2-9}[/mm] führt.
Also, wie geht es denn in diesem Fall ?
Man kann die Funktion f(x) anders notieren:
f(x)= [mm]\bruch{1}{x^2-9}=\bruch{1}{(x-3)*(x+3)}\ =\ \bruch{1/6}{x-3}\ -\ \bruch{1/6}{x+3}[/mm]
oder
[mm] f(x)=\bruch{1}{6}*\left(\bruch{1}{x-3}-\bruch{1}{x+3}\right)
[/mm]
Nun kann man gliedweise integrieren mit den linearen Substitu-
tionen u=x-3 bzw. v=x+3.
Die Zerlegung des Bruches [mm] \bruch{1}{x^2-9} [/mm] in eine Summe
von Brüchen mit linearen Nennern ist eine sogenannte
 Partialbruchzerlegung.
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also komme ich am ende auf folgendes ergebnis:
[mm] \bruch{-ln (\bruch{|x+3|}{|x-3|})}{6}
[/mm]
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